Fracciones — sumar, restar, multiplicar y dividir

Para sumar y restar fracciones, primero haz que los denominadores coincidan. Para multiplicar fracciones, multiplica en línea recta. Para dividir fracciones, multiplica por el recíproco de la segunda fracción.

Esa es la idea completa, pero hay una condición importante: la segunda fracción en un problema de división no puede ser $0$. Si fuera $0$, el recíproco no existiría y la división no estaría definida.

Qué significa una fracción

Una fracción $\frac{a}{b}$ representa $a$ partes de tamaño $\frac{1}{b}$, con $b \ne 0$. El numerador indica cuántas partes tienes, y el denominador indica el tamaño de cada parte.

Por eso $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ no es $\frac{2}{5}$. Los medios y los tercios son partes de distinto tamaño, así que debes reescribirlos en la misma unidad antes de sumar.

Reglas de las fracciones de un vistazo

Para $b \ne 0$, $d \ne 0$ y $c \ne 0$ en la regla de la división:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Para la suma y la resta, estas fórmulas funcionan porque $bd$ es un denominador común. En los ejercicios, muchas veces se usa el mínimo común denominador porque mantiene los números más pequeños.

Un ejemplo resuelto para las cuatro operaciones

Usa el mismo par cada vez:

$$\frac{2}{3} \quad \text{and} \quad \frac{1}{4}$$

Sumar fracciones

El mínimo común denominador de $3$ y $4$ es $12$, así que reescribe ambas fracciones:

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$$

Ahora las partes coinciden:

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$

Restar fracciones

Usa el mismo denominador común:

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$$

Multiplicar fracciones

Aquí no hace falta un denominador común:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

Dividir fracciones

Conserva la primera fracción, invierte la segunda y multiplica:

$$\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{1} = \frac{8}{3}$$

Esta respuesta es mayor que $1$, lo cual tiene sentido. Dividir entre $\frac{1}{4}$ pregunta cuántas partes de tamaño un cuarto caben en $\frac{2}{3}$.

Por qué importan los denominadores comunes

La suma y la resta combinan cantidades del mismo tamaño. Si las partes tienen tamaños distintos, los numeradores por sí solos no cuentan toda la historia.

La multiplicación y la división son diferentes. La multiplicación escala una cantidad por otra, y la división compara cuántas veces una fracción cabe en otra, así que un denominador común no es el paso clave en esos casos.

Errores comunes con fracciones

1. Sumar tanto los numeradores como los denominadores. En general, $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$.
2. Buscar un denominador común al multiplicar o dividir. Ese paso extra no es necesario.
3. Invertir la primera fracción al dividir. Solo se invierte la segunda fracción.
4. Olvidar simplificar, por ejemplo dejar $\frac{2}{12}$ en lugar de $\frac{1}{6}$.
5. Dividir entre una fracción cero. $\frac{a}{b} \div \frac{0}{d}$ no está definido.

Cuándo usan los estudiantes las operaciones con fracciones

Las operaciones con fracciones se usan en medidas, recetas, tasas, probabilidad, álgebra y en cualquier problema donde las cantidades sean partes de un todo.

La elección de la operación depende de la pregunta:

• Suma o resta cuando estés combinando o comparando cantidades.
• Multiplica cuando necesites una fracción de otra fracción.
• Divide cuando quieras saber cuántos grupos caben o qué representa una fracción con respecto a otra.

Prueba un problema parecido

Prueba las mismas cuatro operaciones con $\frac{3}{5}$ y $\frac{2}{15}$. Si quieres comprobar tu planteamiento después de resolverlo por tu cuenta, un solucionador matemático puede ayudarte a verificar si igualaste denominadores solo cuando la operación lo requería.