Mnożenie na krzyż

Mnożenie na krzyż to szybki sposób rozwiązywania proporcji, czyli równania, w którym jeden ułamek jest równy drugiemu ułamkowi. Jeśli

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

oraz $b \ne 0$ i $d \ne 0$, to można zapisać to równanie w postaci

$$ad = bc$$

Mówiąc prosto, jeśli dwa ułamki są równe, to iloczyny po przekątnej są takie same. Działa to tylko wtedy, gdy naprawdę masz układ ułamek = ułamek.

Co oznacza mnożenie na krzyż

Mnożenie na krzyż stosuje się do proporcji:

$$\frac{\text{coś}}{\text{coś}} = \frac{\text{coś}}{\text{coś}}$$

Mnożysz po przekątnej przez znak równości. W równaniu

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

iloczyny na krzyż to $ad$ i $bc$.

To nie jest osobna magiczna sztuczka. Wynika to z pomnożenia obu stron przez $bd$, co usuwa oba mianowniki, gdy $b \ne 0$ i $d \ne 0$.

Dlaczego mnożenie na krzyż działa

Jeśli dwa ułamki przedstawiają tę samą wartość, opisują to samo porównanie w dwóch różnych postaciach.

Na przykład

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

ponieważ oba ułamki można skrócić do tego samego stosunku. Mnożenie na krzyż to potwierdza:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Jednakowe iloczyny na krzyż są szybkim sprawdzeniem, czy dwa ułamki o niezerowych mianownikach są równe.

Przykład mnożenia na krzyż

Rozwiąż

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Pomnóż po przekątnej:

$$15x = 5 \cdot 12$$

czyli

$$15x = 60$$

Teraz podziel obie strony przez $15$:

$$x = 4$$

Sprawdź odpowiedź w wyjściowej proporcji:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Obie strony upraszczają się do $\frac{4}{5}$, więc rozwiązanie jest poprawne.

Kiedy można używać mnożenia na krzyż

Używaj mnożenia na krzyż wtedy, gdy po obu stronach są ułamki i te ułamki są sobie równe. Każdy występujący mianownik musi też być różny od zera.

Na przykład jest to poprawne w równaniu

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

ponieważ jest to proporcja.

Ale nie każde równanie z ułamkiem wymaga tej metody. W równaniu

$$\frac{x}{5} = 7$$

występuje tylko jeden ułamek, więc prościej jest pomnożyć obie strony przez $5$ i otrzymać $x = 35$.

Najczęstsze błędy przy mnożeniu na krzyż

Jednym z częstych błędów jest stosowanie mnożenia na krzyż wtedy, gdy równanie nie jest proporcją. Ta metoda służy do układu ułamek = ułamek, a nie do każdego równania, które po prostu zawiera ułamek.

Innym błędem jest zapominanie o ograniczeniach mianownika. Jeśli mianownik może być równy $0$, taką wartość trzeba wykluczyć. Na przykład w równaniu

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

przed rozwiązaniem trzeba zapisać, że $x \ne 2$.

Trzecim błędem jest mnożenie wprost zamiast po przekątnej. W równaniu

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

iloczyny na krzyż to $ad$ i $bc$, a nie $ab$ i $cd$.

Gdzie stosuje się mnożenie na krzyż

Mnożenie na krzyż pojawia się w proporcjach, figurach podobnych, rysunkach w skali, przeliczaniu jednostek i zadaniach na prędkość lub inne wielkości. Jest przydatne wtedy, gdy niewiadoma znajduje się w stosunku i chcesz zachować to samo porównanie.

To także szybki sposób sprawdzenia, czy dwa ułamki są równoważne, o ile ich mianowniki są różne od zera.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie rozwiązać wersję z równaniem

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Oblicz $y$, a potem podstaw swoją odpowiedź z powrotem do wyjściowej proporcji. Jeśli chcesz przećwiczyć inny przypadek, spróbuj proporcji ze zmienną w mianowniku i podaj ograniczenie przed rozwiązaniem.