การคูณไขว้

การคูณไขว้เป็นวิธีลัดในการแก้สัดส่วน ซึ่งเป็นสมการที่เศษส่วนหนึ่งเท่ากับอีกเศษส่วนหนึ่ง ถ้า

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

และ $b \ne 0$ และ $d \ne 0$ คุณสามารถเขียนใหม่ได้เป็น

$$ad = bc$$

พูดง่าย ๆ คือ ถ้าเศษส่วนสองจำนวนมีค่าเท่ากัน ผลคูณตามแนวทแยงจะเท่ากันด้วย วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อสมการอยู่ในรูปเศษส่วนเท่ากับเศษส่วนจริง ๆ เท่านั้น

การคูณไขว้หมายถึงอะไร

การคูณไขว้ใช้กับสัดส่วน:

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

คุณคูณตามแนวทแยงผ่านเครื่องหมายเท่ากับ ในสมการ

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

ผลคูณไขว้คือ $ad$ และ $bc$

นี่ไม่ใช่เทคนิคพิเศษแยกต่างหาก แต่มาจากการคูณทั้งสองข้างด้วย $bd$ ซึ่งทำให้ตัวส่วนทั้งสองหายไป เมื่อ $b \ne 0$ และ $d \ne 0$

ทำไมการคูณไขว้จึงใช้ได้

ถ้าเศษส่วนสองจำนวนแทนค่าเดียวกัน แปลว่ามันอธิบายการเปรียบเทียบเดียวกันในคนละรูปแบบ

ตัวอย่างเช่น

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

เพราะเศษส่วนทั้งสองย่อได้เป็นอัตราส่วนเดียวกัน การคูณไขว้ช่วยยืนยันได้ว่า:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

ถ้าผลคูณไขว้เท่ากัน ก็เป็นการตรวจสอบอย่างรวดเร็วว่าเศษส่วนสองจำนวนที่มีตัวส่วนไม่เป็นศูนย์นั้นเท่ากัน

ตัวอย่างการคูณไขว้

จงแก้สมการ

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

คูณแนวทแยง:

$$15x = 5 \cdot 12$$

ดังนั้น

$$15x = 60$$

ตอนนี้หารทั้งสองข้างด้วย $15$:

$$x = 4$$

ตรวจคำตอบในสัดส่วนเดิม:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

ทั้งสองข้างย่อได้เป็น $\frac{4}{5}$ ดังนั้นคำตอบนี้ถูกต้อง

เมื่อไรที่ใช้การคูณไขว้ได้

ใช้การคูณไขว้เมื่อทั้งสองข้างเป็นเศษส่วน และเศษส่วนทั้งสองถูกตั้งให้เท่ากัน นอกจากนี้ ตัวส่วนทุกตัวที่เกี่ยวข้องต้องไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น ใช้ได้ใน

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

เพราะเป็นสัดส่วน

แต่ไม่ใช่ทุกสมการที่มีเศษส่วนจะต้องใช้วิธีนี้ ในสมการ

$$\frac{x}{5} = 7$$

มีเศษส่วนเพียงข้างเดียว ดังนั้นวิธีที่ง่ายกว่าคือคูณทั้งสองข้างด้วย $5$ แล้วได้ $x = 35$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการคูณไขว้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือใช้การคูณไขว้ทั้งที่สมการไม่ใช่สัดส่วน วิธีนี้ใช้สำหรับกรณีเศษส่วนเท่ากับเศษส่วน ไม่ใช่ทุกสมการที่บังเอิญมีเศษส่วนอยู่

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือการลืมเงื่อนไขของตัวส่วน ถ้าตัวส่วนมีโอกาสเป็น $0$ ได้ ค่านั้นต้องถูกตัดทิ้ง ตัวอย่างเช่น ในสมการ

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

คุณต้องระบุว่า $x \ne 2$ ก่อนแก้สมการ

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือคูณตรง ๆ ตามแนวนอนแทนที่จะคูณตามแนวทแยง ในสมการ

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

ผลคูณไขว้คือ $ad$ และ $bc$ ไม่ใช่ $ab$ และ $cd$

การคูณไขว้ถูกใช้ที่ไหน

การคูณไขว้พบได้ในเรื่องสัดส่วน รูปคล้าย แบบร่างตามมาตราส่วน การแปลงหน่วย และโจทย์อัตรา วิธีนี้มีประโยชน์เมื่อมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ในอัตราส่วน และคุณต้องการคงการเปรียบเทียบเดิมไว้

นอกจากนี้ยังเป็นวิธีที่รวดเร็วในการตรวจสอบว่าเศษส่วนสองจำนวนเป็นเศษส่วนที่สมมูลกันหรือไม่ ตราบใดที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองจาก

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

จงหา $y$ แล้วแทนคำตอบกลับเข้าไปในสัดส่วนเดิม ถ้าคุณอยากลองอีกกรณีหนึ่ง ให้ลองสัดส่วนที่มีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน และระบุเงื่อนไขก่อนแก้สมการ