交叉相乘

交叉相乘是解比例的一种快捷方法。比例是指一个分数等于另一个分数的方程。如果

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

并且 $b \ne 0$、$d \ne 0$，那么它可以改写为

$$ad = bc$$

用通俗的话说，如果两个分数相等，那么对角线相乘得到的积也相等。这个方法只在方程确实是“分数等于分数”的形式时才适用。

交叉相乘是什么意思

交叉相乘适用于比例：

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

你要沿着等号对角相乘。在

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

中，交叉乘积是 $ad$ 和 $bc$。

这并不是什么单独的神奇技巧。它其实来自于等式两边同时乘以 $bd$，这样在 $b \ne 0$ 且 $d \ne 0$ 时，两个分母都能被消去。

为什么交叉相乘成立

如果两个分数表示同一个值，那么它们只是用两种不同形式表达了同样的比较关系。

例如，

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

因为这两个分数都可以化简成同一个比值。交叉相乘可以验证这一点：

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

交叉乘积相等，可以快速判断两个分母不为零的分数是否相等。

交叉相乘例题

解方程

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

对角线交叉相乘：

$$15x = 5 \cdot 12$$

所以

$$15x = 60$$

现在两边同时除以 $15$：

$$x = 4$$

把答案代回原来的比例中检验：

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

两边都可以化简为 $\frac{4}{5}$，所以这个解是正确的。

什么时候可以使用交叉相乘

当等式两边都是分数，并且这两个分数彼此相等时，就可以使用交叉相乘。你还需要保证所有涉及的分母都不为零。

例如，在

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

中，这种方法是有效的，因为它是一个比例。

但并不是每个含有分数的方程都需要用这种方法。在

$$\frac{x}{5} = 7$$

中，只有一个分数，所以更简单的做法是两边同时乘以 $5$，得到 $x = 35$。

交叉相乘的常见错误

一个常见错误是在方程不是比例时也使用交叉相乘。这个方法适用于“分数等于分数”，而不是所有碰巧含有分数的方程。

另一个错误是忘记分母的限制。如果某个分母可能等于 $0$，那么这个值必须排除。例如，在

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

中，解题前必须先说明 $x \ne 2$。

第三个错误是横着相乘，而不是对角相乘。在

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

中，交叉乘积是 $ad$ 和 $bc$，不是 $ab$ 和 $cd$。

交叉相乘用在哪里

交叉相乘常见于比例问题、相似图形、比例尺图、单位换算和速度问题。当未知数出现在一个比中，而你又想保持同样的比较关系时，它会非常有用。

只要分母不为零，它也是快速判断两个分数是否为等值分数的方法。

试试类似的问题

你可以自己试一题：

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

求出 $y$，然后把答案代回原来的比例中。如果你想进一步练习，也可以试一个分母中含有变量的比例，并在求解前先写出限制条件。