İçler Dışlar Çarpımı

İçler dışlar çarpımı, bir orantıyı çözmenin hızlı bir yoludur. Orantı, bir kesrin başka bir kesre eşit olduğu denklemdir. Eğer

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

ve $b \ne 0$ ile $d \ne 0$ ise, bunu

$$ad = bc$$

şeklinde yeniden yazabilirsiniz.

Basitçe söylemek gerekirse, iki kesir eşitse çapraz çarpımlar da eşit olur. Bu yöntem yalnızca gerçekten kesir eşittir kesir biçiminde bir düzen varsa çalışır.

İçler Dışlar Çarpımı Ne Anlama Gelir?

İçler dışlar çarpımı bir orantıya uygulanır:

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

Eşittir işaretinin iki yanındaki terimleri çapraz olarak çarparsınız. Şu denklemde

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

çapraz çarpımlar $ad$ ve $bc$ olur.

Bu ayrı bir sihirli işlem değildir. Her iki tarafı da $bd$ ile çarpmaktan gelir; böylece $b \ne 0$ ve $d \ne 0$ olduğunda her iki payda da sadeleşir.

İçler Dışlar Çarpımı Neden Çalışır?

İki kesir aynı değeri gösteriyorsa, aynı karşılaştırmayı iki farklı biçimde ifade ediyor demektir.

Örneğin,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

çünkü her iki kesir de aynı orana sadeleşir. İçler dışlar çarpımı bunu doğrular:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Çapraz çarpımların eşit çıkması, paydaları sıfır olmayan iki kesrin eşit olduğunu hızlıca kontrol etmenin bir yoludur.

İçler Dışlar Çarpımı Örneği

Çözün:

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Köşegenleri çapraz çarpın:

$$15x = 5 \cdot 12$$

buradan

$$15x = 60$$

Şimdi her iki tarafı $15$'e bölün:

$$x = 4$$

Cevabı başlangıçtaki orantıda kontrol edin:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Her iki taraf da $\frac{4}{5}$ biçimine sadeleşir, yani çözüm doğrudur.

İçler Dışlar Çarpımını Ne Zaman Kullanabilirsiniz?

İçler dışlar çarpımını, her iki taraf da kesir olduğunda ve bu kesirler birbirine eşit olduğunda kullanın. Ayrıca kullanılan tüm paydaların sıfırdan farklı olması gerekir.

Örneğin, şu denklemde yöntem geçerlidir:

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

çünkü bu bir orantıdır.

Ama kesir içeren her denklemde bu yönteme gerek yoktur. Şu denklemde

$$\frac{x}{5} = 7$$

yalnızca bir kesir vardır; bu yüzden daha basit yol, her iki tarafı $5$ ile çarpıp $x = 35$ elde etmektir.

İçler Dışlar Çarpımında Sık Yapılan Hatalar

Yaygın hatalardan biri, denklem bir orantı olmadığı hâlde içler dışlar çarpımı kullanmaktır. Bu yöntem kesir eşittir kesir durumları içindir; içinde kesir geçen her denklem için değildir.

Bir başka hata da payda kısıtlarını unutmaktır. Bir payda $0$ olabiliyorsa, o değer dışlanmalıdır. Örneğin,

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

denkleminde çözmeden önce $x \ne 2$ demeniz gerekir.

Üçüncü bir hata, çapraz yerine düz çarpmaktır. Şu denklemde

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

çapraz çarpımlar $ad$ ve $bc$'dir; $ab$ ve $cd$ değildir.

İçler Dışlar Çarpımı Nerelerde Kullanılır?

İçler dışlar çarpımı; orantılarda, benzer şekillerde, ölçekli çizimlerde, birim dönüşümlerinde ve hız-oran problemlerinde karşınıza çıkar. Bir bilinmeyen oran içinde yer aldığında ve aynı karşılaştırmayı korumak istediğinizde kullanışlıdır.

Ayrıca, paydalar sıfır olmadığı sürece iki kesrin denk olup olmadığını hızlıca kontrol etmenin de bir yoludur.

Benzer Bir Soru Deneyin

Şu örneği kendiniz çözmeyi deneyin:

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

$y$ için çözün, sonra bulduğunuz cevabı başlangıçtaki orantıda yerine yazın. Başka bir durum denemek isterseniz, paydada değişken bulunan bir orantı kurun ve çözmeden önce kısıtı belirtin.