Kreuzmultiplikation

Die Kreuzmultiplikation ist eine schnelle Methode, um eine Proportion zu lösen, also eine Gleichung, in der ein Bruch einem anderen Bruch entspricht. Wenn

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

und $b \ne 0$ und $d \ne 0$, dann kannst du das umschreiben zu

$$ad = bc$$

Einfach gesagt: Wenn zwei Brüche gleich sind, dann sind auch die diagonal gebildeten Produkte gleich. Das funktioniert nur, wenn wirklich ein Bruch-gleich-Bruch-Ausdruck vorliegt.

Was Kreuzmultiplikation bedeutet

Kreuzmultiplikation wird bei einer Proportion angewendet:

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

Du multiplizierst diagonal über das Gleichheitszeichen hinweg. In

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

sind die Kreuzprodukte $ad$ und $bc$.

Das ist kein eigener Zaubertrick. Es entsteht dadurch, dass man beide Seiten mit $bd$ multipliziert, wodurch beide Nenner wegfallen, wenn $b \ne 0$ und $d \ne 0$.

Warum Kreuzmultiplikation funktioniert

Wenn zwei Brüche denselben Wert darstellen, beschreiben sie denselben Vergleich in zwei verschiedenen Formen.

Zum Beispiel gilt

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

weil sich beide Brüche auf dasselbe Verhältnis kürzen lassen. Die Kreuzmultiplikation bestätigt das:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Gleiche Kreuzprodukte sind ein schneller Test dafür, dass zwei Brüche mit von null verschiedenen Nennern gleich sind.

Beispiel zur Kreuzmultiplikation

Löse

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Multipliziere die Diagonalen kreuzweise:

$$15x = 5 \cdot 12$$

also

$$15x = 60$$

Teile jetzt beide Seiten durch $15$:

$$x = 4$$

Prüfe die Antwort in der ursprünglichen Proportion:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Beide Seiten vereinfachen sich zu $\frac{4}{5}$, also ist die Lösung richtig.

Wann du Kreuzmultiplikation verwenden kannst

Verwende Kreuzmultiplikation, wenn beide Seiten Brüche sind und diese Brüche einander gleichgesetzt werden. Außerdem müssen alle beteiligten Nenner ungleich null sein.

Zum Beispiel ist sie gültig in

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

weil das eine Proportion ist.

Aber nicht jede Gleichung mit einem Bruch braucht diese Methode. In

$$\frac{x}{5} = 7$$

gibt es nur einen Bruch, daher ist es einfacher, beide Seiten mit $5$ zu multiplizieren und $x = 35$ zu erhalten.

Häufige Fehler bei der Kreuzmultiplikation

Ein häufiger Fehler ist, Kreuzmultiplikation zu verwenden, obwohl die Gleichung keine Proportion ist. Die Methode gilt für Bruch gleich Bruch, nicht für jede Gleichung, in der zufällig ein Bruch vorkommt.

Ein weiterer Fehler ist, Einschränkungen für Nenner zu vergessen. Wenn ein Nenner $0$ werden könnte, muss dieser Wert ausgeschlossen werden. Zum Beispiel musst du bei

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

vor dem Lösen angeben, dass $x \ne 2$ gilt.

Ein dritter Fehler ist, geradeaus statt diagonal zu multiplizieren. In

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

sind die Kreuzprodukte $ad$ und $bc$, nicht $ab$ und $cd$.

Wo Kreuzmultiplikation verwendet wird

Kreuzmultiplikation kommt bei Proportionen, ähnlichen Figuren, maßstabsgetreuen Zeichnungen, Einheitenumrechnungen und Aufgaben zu Geschwindigkeiten oder Raten vor. Sie ist nützlich, wenn eine Unbekannte in einem Verhältnis steht und du denselben Vergleich beibehalten willst.

Sie ist auch eine schnelle Methode, um zu prüfen, ob zwei Brüche äquivalent sind, solange die Nenner ungleich null sind.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Version mit

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Löse nach $y$ auf und setze deine Antwort dann wieder in die ursprüngliche Proportion ein. Wenn du noch einen anderen Fall untersuchen willst, probiere eine Proportion mit einer Variablen im Nenner und gib die Einschränkung vor dem Lösen an.