Équations linéaires

Une équation linéaire représente une relation à taux constant. À une variable, elle cherche la valeur qui rend une égalité vraie, souvent sous la forme $ax + b = c$ avec $a \ne 0$. À deux variables, elle décrit une droite sur un graphique.

L’idée essentielle est la variation constante. Si des variations égales de $x$ produisent toujours des variations égales de $y$, alors la relation est linéaire. C’est pourquoi les équations linéaires apparaissent dans le salaire horaire, la vitesse constante et toute situation avec une valeur de départ plus la même variation à chaque étape.

Ce qui rend une équation linéaire

Une équation est linéaire si chaque terme contenant une variable est du premier degré. Cela signifie qu’il n’y a pas de carrés comme $x^2$, pas de produits comme $xy$ dans un cadre d’algèbre introductive, et pas de variables au dénominateur.

Par exemple, celles-ci sont linéaires :

• $3x - 7 = 11$
• $y = 2x + 5$
• $4x + 3y = 12$

Celles-ci ne sont pas linéaires :

• $x^2 + 1 = 0$
• $xy = 10$
• $y = \frac{1}{x}$

Deux cas courants : résoudre et représenter graphiquement

Dans un problème à une variable, le but est généralement de trouver la valeur inconnue. Dans $3x - 7 = 11$, on cherche la valeur de $x$ qui rend l’équation vraie.

Dans un problème à deux variables, le but est souvent de comprendre une relation. Dans $y = 2x + 5$, l’équation indique comment $y$ change quand $x$ change, et sa représentation graphique est une droite.

Exemple détaillé : résoudre $3x - 7 = 11$

Commencez par annuler les opérations autour de $x$ dans l’ordre inverse.

Ajoutez $7$ aux deux membres :

$$3x - 7 + 7 = 11 + 7$$

donc

$$3x = 18$$

Maintenant, divisez les deux membres par $3$ :

$$x = 6$$

Vérifiez la réponse dans l’équation d’origine :

$$3(6) - 7 = 18 - 7 = 11$$

La vérification fonctionne, donc $x = 6$ est correct. C’est l’idée centrale pour résoudre une équation linéaire : isoler la variable, puis vérifier le résultat dans l’équation d’origine.

Pourquoi le graphique est une droite

Pour une équation linéaire à deux variables comme $y = 2x + 1$, la variation de $y$ reste constante. Si $x$ augmente de $1$, alors $y$ augmente de $2$ à chaque fois. Un taux de variation constant donne une droite plutôt qu’une courbe.

Si le taux de variation n’est pas constant, le graphique ne sera généralement pas une droite. Par exemple, $y = x^2$ se courbe vers le haut parce que la variation de $y$ devient plus grande à mesure que $x$ augmente.

Erreurs fréquentes lors de la résolution d’équations linéaires

Une erreur fréquente consiste à considérer comme linéaire toute équation contenant à la fois $x$ et $y$. Cela ne fonctionne que si les variables restent à la puissance 1 et si la relation a une variation constante.

Une autre erreur consiste à effectuer une opération sur un seul membre lors de la résolution. Si vous ajoutez, soustrayez, multipliez ou divisez à gauche, vous devez faire exactement la même chose à droite pour conserver l’équilibre de l’équation.

Une troisième erreur consiste à diviser par un coefficient sans vérifier la condition. Dans $ax + b = c$, résoudre par division suppose que $a \ne 0$. Si $a = 0$, l’équation n’est plus une équation linéaire standard à une variable.

Où les équations linéaires sont utilisées

Les équations linéaires apparaissent chaque fois qu’une quantité varie à un rythme constant. On les rencontre dans les budgets, les problèmes de distance et de temps, les prix unitaires et les modèles simples de physique.

Elles sont souvent le premier modèle utile parce qu’elles sont simples à résoudre, simples à représenter graphiquement et faciles à interpréter. Sur un intervalle limité, même des données plus complexes sont souvent approchées par une droite.

Essayez un problème similaire

Essayez de résoudre $5x + 4 = 19$ et vérifiez votre réponse par substitution. Si vous voulez explorer un autre cas, réécrivez $y - 3 = 2x$ sous la forme $y = 2x + 3$ et décrivez ce qui arrive à $y$ lorsque $x$ augmente de $1$.