교차곱셈

교차곱셈은 비례식을 빠르게 푸는 방법입니다. 비례식은 한 분수가 다른 분수와 같다고 놓은 식입니다. 만약

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

이고 $b \ne 0$이며 $d \ne 0$이면, 이를 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있습니다.

$$ad = bc$$

쉽게 말해, 두 분수가 같다면 대각선으로 곱한 값이 서로 같습니다. 이 방법은 정말로 “분수 = 분수” 형태일 때만 사용할 수 있습니다.

교차곱셈의 뜻

교차곱셈은 비례식에 적용합니다.

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

등호를 기준으로 대각선 방향으로 곱합니다. 식

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

에서 교차곱은 $ad$와 $bc$입니다.

이것은 따로 떨어진 마법 같은 요령이 아닙니다. 양변에 $bd$를 곱해서 나온 결과입니다. $b \ne 0$이고 $d \ne 0$이면 두 분모가 모두 없어집니다.

교차곱셈이 성립하는 이유

두 분수가 같은 값을 나타낸다면, 같은 비교를 서로 다른 두 형태로 표현한 것입니다.

예를 들어,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

인 이유는 두 분수가 같은 비로 약분되기 때문입니다. 교차곱셈으로도 이를 확인할 수 있습니다.

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

교차곱이 같다면, 분모가 0이 아닌 두 분수가 서로 같다는 것을 빠르게 확인할 수 있습니다.

교차곱셈 예시

다음을 푸세요.

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

대각선끼리 교차곱하면,

$$15x = 5 \cdot 12$$

따라서

$$15x = 60$$

이제 양변을 $15$로 나누면,

$$x = 4$$

원래 비례식에 답을 대입해 확인해 봅시다.

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

양변은 모두 $\frac{4}{5}$로 간단히 나타낼 수 있으므로, 해가 맞습니다.

교차곱셈을 사용할 수 있는 경우

양변이 모두 분수이고, 그 두 분수가 서로 같다고 놓인 경우에 교차곱셈을 사용합니다. 또한 모든 분모는 0이 아니어야 합니다.

예를 들어,

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

은 비례식이므로 교차곱셈이 가능합니다.

하지만 분수가 들어 있다고 해서 모든 식에 이 방법을 쓰는 것은 아닙니다. 예를 들어

$$\frac{x}{5} = 7$$

에서는 분수가 하나뿐이므로, 양변에 $5$를 곱해 $x = 35$를 얻는 것이 더 간단합니다.

교차곱셈에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 식이 비례식이 아닌데도 교차곱셈을 사용하는 것입니다. 이 방법은 “분수 = 분수” 형태에 쓰는 것이지, 분수가 들어 있는 모든 식에 쓰는 것이 아닙니다.

또 다른 실수는 분모 조건을 잊는 것입니다. 어떤 분모가 $0$이 될 수 있다면, 그 값은 제외해야 합니다. 예를 들어,

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

에서는 풀기 전에 반드시 $x \ne 2$라고 밝혀야 합니다.

세 번째 실수는 대각선이 아니라 가로로 곱하는 것입니다. 식

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

에서 교차곱은 $ad$와 $bc$이지, $ab$와 $cd$가 아닙니다.

교차곱셈은 어디에 쓰일까

교차곱셈은 비례식, 닮음도형, 축척도, 단위 변환, 속력과 비율 문제에서 자주 등장합니다. 미지수가 비 안에 들어 있고 같은 비교를 유지해야 할 때 특히 유용합니다.

또한 분모가 0이 아니라는 조건 아래에서, 두 분수가 동치분수인지 빠르게 확인하는 방법으로도 쓸 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음 식으로 직접 풀어 보세요.

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

$y$를 구한 뒤, 그 답을 원래 비례식에 다시 대입해 보세요. 다른 경우도 연습하고 싶다면, 분모에 변수가 있는 비례식을 하나 정하고 풀기 전에 제한 조건을 먼저 써 보세요.