Nhân chéo

Nhân chéo là một cách nhanh để giải một tỉ lệ thức, tức là phương trình trong đó một phân số bằng một phân số khác. Nếu

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

và $b \ne 0$ và $d \ne 0$, thì bạn có thể viết lại thành

$$ad = bc$$

Nói đơn giản, nếu hai phân số bằng nhau thì các tích theo đường chéo sẽ bằng nhau. Cách này chỉ đúng khi bạn thực sự có dạng một phân số bằng một phân số.

Nhân Chéo Có Nghĩa Là Gì

Nhân chéo được áp dụng cho một tỉ lệ thức:

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

Bạn nhân theo đường chéo qua dấu bằng. Trong

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

các tích chéo là $ad$ và $bc$.

Đây không phải là một mẹo riêng biệt hay phép màu. Nó xuất phát từ việc nhân cả hai vế với $bd$, giúp khử cả hai mẫu số khi $b \ne 0$ và $d \ne 0$.

Vì Sao Nhân Chéo Hoạt Động

Nếu hai phân số biểu diễn cùng một giá trị, thì chúng mô tả cùng một phép so sánh dưới hai dạng khác nhau.

Ví dụ,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

vì cả hai phân số đều rút gọn về cùng một tỉ số. Nhân chéo xác nhận điều đó:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Các tích chéo bằng nhau là một cách kiểm tra nhanh xem hai phân số có mẫu khác $0$ có bằng nhau hay không.

Ví Dụ Về Nhân Chéo

Giải

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Nhân chéo hai đường chéo:

$$15x = 5 \cdot 12$$

nên

$$15x = 60$$

Bây giờ chia cả hai vế cho $15$:

$$x = 4$$

Kiểm tra đáp án trong tỉ lệ thức ban đầu:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Cả hai vế đều rút gọn thành $\frac{4}{5}$, nên nghiệm là đúng.

Khi Nào Có Thể Dùng Nhân Chéo

Dùng nhân chéo khi cả hai vế đều là phân số và các phân số đó được đặt bằng nhau. Bạn cũng cần mọi mẫu số liên quan đều khác $0$.

Ví dụ, cách này hợp lệ trong

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

vì đây là một tỉ lệ thức.

Nhưng không phải phương trình nào có phân số cũng cần dùng cách này. Trong

$$\frac{x}{5} = 7$$

chỉ có một phân số, nên cách đơn giản hơn là nhân cả hai vế với $5$ để được $x = 35$.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Nhân Chéo

Một lỗi phổ biến là dùng nhân chéo khi phương trình không phải là tỉ lệ thức. Phương pháp này dành cho dạng phân số bằng phân số, không phải cho mọi phương trình chỉ vì có chứa phân số.

Một lỗi khác là quên điều kiện của mẫu số. Nếu một mẫu số có thể bằng $0$, thì giá trị đó phải bị loại. Ví dụ, trong

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

bạn phải nêu $x \ne 2$ trước khi giải.

Lỗi thứ ba là nhân ngang thay vì nhân chéo. Trong

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

các tích chéo là $ad$ và $bc$, không phải $ab$ và $cd$.

Nhân Chéo Được Dùng Ở Đâu

Nhân chéo xuất hiện trong tỉ lệ thức, hình đồng dạng, bản vẽ theo tỉ lệ, đổi đơn vị và các bài toán về tốc độ. Nó hữu ích khi một ẩn nằm trong một tỉ số và bạn muốn giữ nguyên cùng một phép so sánh.

Đây cũng là cách nhanh để kiểm tra xem hai phân số có tương đương hay không, miễn là các mẫu số đều khác $0$.

Thử Một Bài Tương Tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Giải $y$, rồi thay đáp án của bạn trở lại tỉ lệ thức ban đầu. Nếu muốn thử thêm một trường hợp khác, hãy chọn một tỉ lệ thức có biến ở mẫu số và nêu điều kiện trước khi giải.