Multiplicación cruzada

La multiplicación cruzada es una forma rápida de resolver una proporción, que es una ecuación donde una fracción es igual a otra fracción. Si

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

y $b \ne 0$ y $d \ne 0$, entonces puedes reescribirla como

$$ad = bc$$

En palabras simples, si dos fracciones son iguales, los productos en diagonal coinciden. Esto solo funciona cuando realmente tienes una estructura de fracción igual a fracción.

Qué significa la multiplicación cruzada

La multiplicación cruzada se aplica a una proporción:

$$\frac{\text{algo}}{\text{algo}} = \frac{\text{algo}}{\text{algo}}$$

Multiplicas en diagonal a través del signo igual. En

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

los productos cruzados son $ad$ y $bc$.

No es un truco mágico aparte. Proviene de multiplicar ambos lados por $bd$, lo que elimina ambos denominadores cuando $b \ne 0$ y $d \ne 0$.

Por qué funciona la multiplicación cruzada

Si dos fracciones representan el mismo valor, describen la misma comparación en dos formas diferentes.

Por ejemplo,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

porque ambas fracciones se simplifican a la misma razón. La multiplicación cruzada lo confirma:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{y} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Que los productos cruzados coincidan es una forma rápida de comprobar que dos fracciones con denominadores distintos de cero son iguales.

Ejemplo de multiplicación cruzada

Resuelve

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Multiplica en cruz las diagonales:

$$15x = 5 \cdot 12$$

así que

$$15x = 60$$

Ahora divide ambos lados entre $15$:

$$x = 4$$

Comprueba la respuesta en la proporción original:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Ambos lados se simplifican a $\frac{4}{5}$, así que la solución es correcta.

Cuándo puedes usar la multiplicación cruzada

Usa la multiplicación cruzada cuando ambos lados sean fracciones y esas fracciones estén igualadas entre sí. También necesitas que todos los denominadores involucrados sean distintos de cero.

Por ejemplo, es válida en

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

porque es una proporción.

Pero no toda ecuación con una fracción necesita este método. En

$$\frac{x}{5} = 7$$

solo hay una fracción, así que lo más simple es multiplicar ambos lados por $5$ y obtener $x = 35$.

Errores comunes en la multiplicación cruzada

Un error común es usar la multiplicación cruzada cuando la ecuación no es una proporción. El método es para fracción igual a fracción, no para cualquier ecuación que simplemente contenga una fracción.

Otro error es olvidar las restricciones de los denominadores. Si un denominador podría ser $0$, ese valor debe excluirse. Por ejemplo, en

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

debes indicar $x \ne 2$ antes de resolver.

Un tercer error es multiplicar de forma horizontal en lugar de diagonal. En

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

los productos cruzados son $ad$ y $bc$, no $ab$ y $cd$.

Dónde se usa la multiplicación cruzada

La multiplicación cruzada aparece en proporciones, figuras semejantes, dibujos a escala, conversiones de unidades y problemas de tasas. Es útil cuando una incógnita está dentro de una razón y quieres conservar la misma comparación.

También es una forma rápida de comprobar si dos fracciones son equivalentes, siempre que los denominadores sean distintos de cero.

Intenta un problema similar

Prueba tu propia versión con

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Resuelve para $y$ y luego sustituye tu respuesta en la proporción original. Si quieres explorar otro caso, prueba una proporción con una variable en el denominador e indica la restricción antes de resolver.