Prodotto incrociato

Il prodotto incrociato è un modo rapido per risolvere una proporzione, cioè un'equazione in cui una frazione è uguale a un'altra frazione. Se

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

e $b \ne 0$ e $d \ne 0$, allora puoi riscriverla come

$$ad = bc$$

In parole semplici, se due frazioni sono uguali, allora i prodotti in diagonale coincidono. Questo funziona solo quando hai davvero una situazione del tipo frazione uguale a frazione.

Che cosa significa il prodotto incrociato

Il prodotto incrociato si applica a una proporzione:

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

Si moltiplica in diagonale attraverso il segno di uguale. In

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

i prodotti incrociati sono $ad$ e $bc$.

Non è un trucco magico separato. Deriva dal moltiplicare entrambi i membri per $bd$, che elimina entrambi i denominatori quando $b \ne 0$ e $d \ne 0$.

Perché il prodotto incrociato funziona

Se due frazioni rappresentano lo stesso valore, descrivono lo stesso confronto in due forme diverse.

Per esempio,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

perché entrambe le frazioni si riducono allo stesso rapporto. Il prodotto incrociato lo conferma:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Prodotti incrociati uguali sono un controllo rapido per verificare che due frazioni con denominatore non nullo siano uguali.

Esempio di prodotto incrociato

Risolvi

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Moltiplica in diagonale:

$$15x = 5 \cdot 12$$

quindi

$$15x = 60$$

Ora dividi entrambi i membri per $15$:

$$x = 4$$

Controlla la risposta nella proporzione originale:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Entrambi i membri si semplificano a $\frac{4}{5}$, quindi la soluzione è corretta.

Quando puoi usare il prodotto incrociato

Usa il prodotto incrociato quando entrambi i membri sono frazioni e queste frazioni sono poste uguali tra loro. Inoltre, ogni denominatore coinvolto deve essere diverso da zero.

Per esempio, è valido in

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

perché è una proporzione.

Ma non ogni equazione con una frazione richiede questo metodo. In

$$\frac{x}{5} = 7$$

c'è una sola frazione, quindi il passaggio più semplice è moltiplicare entrambi i membri per $5$ e ottenere $x = 35$.

Errori comuni nel prodotto incrociato

Un errore comune è usare il prodotto incrociato quando l'equazione non è una proporzione. Il metodo vale per frazione uguale a frazione, non per ogni equazione che contiene una frazione.

Un altro errore è dimenticare le restrizioni sui denominatori. Se un denominatore può essere $0$, quel valore deve essere escluso. Per esempio, in

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

devi indicare $x \ne 2$ prima di risolvere.

Un terzo errore è moltiplicare in orizzontale invece che in diagonale. In

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

i prodotti incrociati sono $ad$ e $bc$, non $ab$ e $cd$.

Dove si usa il prodotto incrociato

Il prodotto incrociato compare nelle proporzioni, nelle figure simili, nelle rappresentazioni in scala, nelle conversioni di unità e nei problemi con le velocità o i tassi. È utile quando un'incognita si trova dentro un rapporto e vuoi mantenere lo stesso confronto.

È anche un modo rapido per verificare se due frazioni sono equivalenti, purché i denominatori siano diversi da zero.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Risolvi rispetto a $y$, poi sostituisci la tua risposta nella proporzione originale. Se vuoi esplorare un altro caso, prova una proporzione con una variabile al denominatore e indica la restrizione prima di risolvere.