Multiplicação Cruzada

A multiplicação cruzada é uma forma rápida de resolver uma proporção, que é uma equação em que uma fração é igual a outra fração. Se

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

e $b \ne 0$ e $d \ne 0$, então você pode reescrever como

$$ad = bc$$

Em linguagem simples, se duas frações são iguais, os produtos das diagonais são iguais. Isso só funciona quando você realmente tem uma estrutura de fração igual a fração.

O Que Significa Multiplicação Cruzada

A multiplicação cruzada se aplica a uma proporção:

$$\frac{\text{something}}{\text{something}} = \frac{\text{something}}{\text{something}}$$

Você multiplica na diagonal, atravessando o sinal de igualdade. Em

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

os produtos cruzados são $ad$ e $bc$.

Isso não é um truque mágico separado. Vem de multiplicar os dois lados por $bd$, o que elimina os dois denominadores quando $b \ne 0$ e $d \ne 0$.

Por Que a Multiplicação Cruzada Funciona

Se duas frações representam o mesmo valor, elas descrevem a mesma comparação em duas formas diferentes.

Por exemplo,

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

porque as duas frações se simplificam para a mesma razão. A multiplicação cruzada confirma isso:

$$2 \cdot 6 = 12 \quad \text{and} \quad 3 \cdot 4 = 12$$

Produtos cruzados iguais são uma verificação rápida de que duas frações com denominadores não nulos são iguais.

Exemplo de Multiplicação Cruzada

Resolva

$$\frac{x}{5} = \frac{12}{15}$$

Multiplique as diagonais:

$$15x = 5 \cdot 12$$

então

$$15x = 60$$

Agora divida os dois lados por $15$:

$$x = 4$$

Verifique a resposta na proporção original:

$$\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$$

Os dois lados se simplificam para $\frac{4}{5}$, então a solução está correta.

Quando Você Pode Usar Multiplicação Cruzada

Use multiplicação cruzada quando os dois lados forem frações e essas frações estiverem iguais entre si. Você também precisa que todo denominador envolvido seja diferente de zero.

Por exemplo, ela é válida em

$$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{10}$$

porque isso é uma proporção.

Mas nem toda equação com fração precisa desse método. Em

$$\frac{x}{5} = 7$$

há apenas uma fração, então o passo mais simples é multiplicar os dois lados por $5$ e obter $x = 35$.

Erros Comuns na Multiplicação Cruzada

Um erro comum é usar multiplicação cruzada quando a equação não é uma proporção. O método é para fração igual a fração, não para qualquer equação que apenas contenha uma fração.

Outro erro é esquecer as restrições dos denominadores. Se um denominador puder ser $0$, esse valor deve ser excluído. Por exemplo, em

$$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$$

você deve afirmar $x \ne 2$ antes de resolver.

Um terceiro erro é multiplicar em linha reta em vez de na diagonal. Em

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

os produtos cruzados são $ad$ e $bc$, não $ab$ e $cd$.

Onde a Multiplicação Cruzada É Usada

A multiplicação cruzada aparece em proporções, figuras semelhantes, desenhos em escala, conversões de unidades e problemas de taxa. Ela é útil quando uma incógnita está dentro de uma razão e você quer manter a mesma comparação.

Também é uma forma rápida de verificar se duas frações são equivalentes, desde que os denominadores não sejam zero.

Tente Um Problema Parecido

Tente sua própria versão com

$$\frac{y}{8} = \frac{9}{12}$$

Resolva para $y$ e depois substitua sua resposta de volta na proporção original. Se quiser explorar outro caso, tente uma proporção com uma variável no denominador e indique a restrição antes de resolver.