Una serie de Taylor aproxima una función suave cerca de un punto elegido aa con un polinomio que coincide con las derivadas de la función en ese punto.

Explorador

Usa los controles para elegir una función, mover el punto de expansión y aumentar el número de términos. La gráfica compara la función exacta con el polinomio de Taylor, y la gráfica de error muestra dónde la aproximación empieza a desviarse.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Fórmula

Para una función ff, los primeros NN términos de la expansión de Taylor alrededor de aa son:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Cuando a=0a = 0, esto se llama serie de Maclaurin.

Qué observar

  1. El polinomio suele ser más preciso cerca de x=ax = a.
  2. Añadir términos normalmente mejora el ajuste local.
  3. Algunas funciones tienen un radio de convergencia limitado debido a singularidades cercanas.

Series de Maclaurin comunes

Función Primeros términos
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Las series de Taylor son una herramienta fundamental del cálculo porque convierten funciones complicadas en polinomios más fáciles de analizar, derivar y calcular.

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