Chuỗi Taylor xấp xỉ một hàm trơn gần điểm đã chọn aa bằng một đa thức có các đạo hàm tại điểm đó trùng với đạo hàm của hàm số.

Trình khám phá

Dùng các điều khiển để chọn hàm số, di chuyển điểm khai triển và tăng số hạng. Đồ thị so sánh hàm số chính xác với đa thức Taylor, còn đồ thị sai số cho thấy nơi phép xấp xỉ bắt đầu lệch đi.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Công thức

Với hàm số ff, NN số hạng đầu tiên của khai triển Taylor quanh aa là:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Khi a=0a = 0, khai triển này được gọi là chuỗi Maclaurin.

Điều cần chú ý

  1. Đa thức thường chính xác nhất gần x=ax = a.
  2. Thêm số hạng thường cải thiện độ khớp cục bộ.
  3. Một số hàm có bán kính hội tụ hữu hạn do các điểm kỳ dị ở gần.

Các chuỗi Maclaurin thường gặp

Hàm số Các số hạng đầu
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Chuỗi Taylor là một công cụ cốt lõi trong giải tích vì chúng biến các hàm phức tạp thành đa thức dễ phân tích, lấy đạo hàm và tính toán hơn.

Cần trợ giúp giải bài?

Tải câu hỏi lên và nhận lời giải từng bước đã được xác minh trong vài giây.

Mở GPAI Solver →