Una serie di Taylor approssima una funzione regolare vicino a un punto scelto aa con un polinomio che coincide con le derivate della funzione in quel punto.

Esploratore

Usa i controlli per scegliere una funzione, spostare il punto di sviluppo e aumentare il numero di termini. Il grafico confronta la funzione esatta con il polinomio di Taylor, mentre il grafico dell'errore mostra dove l'approssimazione inizia a discostarsi.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Formula

Per una funzione ff, i primi NN termini dello sviluppo di Taylor intorno ad aa sono:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Quando a=0a = 0, si parla di serie di Maclaurin.

Cosa osservare

  1. Il polinomio è di solito più accurato vicino a x=ax = a.
  2. Aggiungere termini migliora in genere l'adattamento locale.
  3. Alcune funzioni hanno un raggio di convergenza limitato a causa di singolarità vicine.

Serie di Maclaurin comuni

Funzione Primi termini
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Le serie di Taylor sono uno strumento fondamentale del calcolo differenziale e integrale perché trasformano funzioni complicate in polinomi più facili da analizzare, derivare e calcolare.

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