Deret Taylor mendekati suatu fungsi mulus di sekitar titik pilihan aa dengan polinom yang cocok dengan turunan-turunan fungsi pada titik tersebut.

Eksplorer

Gunakan kontrol untuk memilih fungsi, menggeser titik pengembangan, dan menambah jumlah suku. Grafik membandingkan fungsi eksak dengan polinom Taylor, dan plot galat menunjukkan di mana pendekatan mulai menyimpang.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Rumus

Untuk suatu fungsi ff, NN suku pertama dari pengembangan Taylor di sekitar aa adalah:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Ketika a=0a = 0, ini disebut deret Maclaurin.

Hal yang Perlu Diperhatikan

  1. Polinom biasanya paling akurat di dekat x=ax = a.
  2. Menambahkan suku biasanya meningkatkan kecocokan lokal.
  3. Beberapa fungsi memiliki jari-jari konvergensi yang terbatas karena singularitas di dekatnya.

Deret Maclaurin yang Umum

Fungsi Suku awal
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Deret Taylor adalah alat inti dalam kalkulus karena mengubah fungsi yang rumit menjadi polinom yang lebih mudah dianalisis, diturunkan, dan dihitung.

Butuh bantuan mengerjakan soal?

Unggah pertanyaanmu dan dapatkan solusi terverifikasi langkah demi langkah dalam hitungan detik.

Buka GPAI Solver →