Criterios de convergencia de series — cociente, raíz, comparación y más

Los criterios de convergencia de series te ayudan a decidir si una serie infinita converge o diverge. La clave no es memorizar cada criterio por separado. Es aprender qué criterio encaja con la forma de los términos.

Si necesitas una forma rápida de elegir, empieza aquí:

1. Comprueba si $a_n \to 0$. Si no ocurre, la serie diverge.
2. Busca primero un patrón conocido, especialmente una serie geométrica o una $p$-serie.
3. Usa comparación para términos positivos que se parezcan a una referencia conocida.
4. Usa cociente o raíz cuando dominen factoriales, exponenciales o potencias.
5. Usa el criterio de series alternantes solo cuando los signos alternen y el tamaño de los términos decrezca hasta $0$.

Qué te dicen los criterios de convergencia de series

Para una serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n,$$

convergencia significa que las sumas parciales se acercan a un límite finito. Divergencia significa que no lo hacen.

Un criterio de convergencia normalmente no calcula la suma. Te dice si existe una suma finita. Esa distinción importa porque el objetivo suele ser clasificar, no evaluar.

Empieza con el criterio del término para divergencia

Antes de elegir un criterio más sofisticado, revisa los propios términos.

Si

$$\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0,$$

entonces

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

debe divergir.

A esto a veces se le llama el criterio del término general para divergencia. Es un criterio de una sola dirección: si $a_n \to 0$, eso no garantiza convergencia.

Por ejemplo,

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

sigue divergiendo aunque $\frac{1}{n} \to 0$.

Cómo elegir el criterio de convergencia correcto

Reconoce primero las series geométricas y las $p$-series

Estos son los primeros modelos que conviene reconocer.

Una serie geométrica

$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$

converge cuando $|r| < 1$ y diverge cuando $|r| \ge 1$.

Una $p$-serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

converge cuando $p > 1$ y diverge cuando $p \le 1$.

Si tu serie se parece a una de estas, eso normalmente sugiere el siguiente paso.

Usa el criterio de comparación para términos positivos

Usa el criterio de comparación para series con términos positivos. La lógica es intuitiva: si tus términos no son mayores que los de una serie convergente conocida, tu serie también converge. Si tus términos son al menos tan grandes como los de una serie divergente conocida, tu serie también diverge.

Este criterio depende de desigualdades, así que es más útil cuando puedes comparar términos de forma clara.

Usa comparación por límite cuando coincida el comportamiento dominante

Usa comparación por límite cuando las desigualdades directas resulten incómodas, pero dos series de términos positivos tengan el mismo comportamiento dominante.

Si

$$a_n > 0, \qquad b_n > 0,$$

y

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c$$

para alguna constante finita $c > 0$, entonces $\sum a_n$ y $\sum b_n$ o bien ambas convergen o bien ambas divergen.

Esta suele ser la opción más limpia para expresiones racionales en $n$.

Usa el criterio del cociente para factoriales y exponenciales

Usa el criterio del cociente cuando aparezcan factoriales o factores exponenciales.

Para

$$\sum a_n,$$

considera

$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|.$$

Entonces:

1. Si $L < 1$, la serie converge absolutamente.
2. Si $L > 1$ o $L = \infty$, la serie diverge.
3. Si $L = 1$, el criterio no es concluyente.

Ese último caso importa. Un límite igual a $1$ no significa por sí solo ni convergencia ni divergencia.

Usa el criterio de la raíz cuando haya una potencia $n$-ésima incorporada

Usa el criterio de la raíz cuando sea natural calcular la raíz $n$-ésima, especialmente para términos como $(\cdots)^n$.

Calcula

$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$$

Las conclusiones son las mismas que para el criterio del cociente:

1. Si $L < 1$, la serie converge absolutamente.
2. Si $L > 1$, la serie diverge.
3. Si $L = 1$, el criterio no es concluyente.

Usa el criterio de series alternantes solo si se cumplen sus condiciones

Úsalo cuando los signos alternen, normalmente en una forma como

$$\sum (-1)^n b_n \quad \text{or} \quad \sum (-1)^{n+1} b_n,$$

con $b_n \ge 0$.

Si $b_n$ decrece a partir de cierto punto y $b_n \to 0$, entonces la serie converge.

Este criterio demuestra convergencia, pero no necesariamente convergencia absoluta. Esa diferencia es la separación entre convergencia condicional y convergencia absoluta.

Usa el criterio integral cuando la serie provenga de una función

Usa el criterio integral cuando la serie provenga de una función positiva, continua y decreciente $f(x)$ con $f(n) = a_n$ para $n$ grande.

Entonces

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

y

$$\int_1^{\infty} f(x)\,dx$$

o bien ambas convergen o bien ambas divergen.

Esto es especialmente útil para términos con logaritmos y potencias, pero solo cuando se cumplen las condiciones necesarias.

Ejemplo resuelto: criterio del cociente en $\sum \frac{n}{2^n}$

Considera

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$$

Los términos incluyen un factor exponencial $2^n$, así que el criterio del cociente es una elección natural.

Sea

$$a_n = \frac{n}{2^n}.$$

Entonces

$$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

Ahora toma el límite:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.$$

Como $\frac{1}{2} < 1$, la serie converge absolutamente.

La idea importante es la elección del criterio. El término exponencial $2^n$ hace que el cociente se simplifique con claridad, así que el criterio del cociente da una respuesta rápida con poca álgebra.

Errores comunes con los criterios de convergencia

Usar un criterio que no encaja con la serie

Si una serie se parece a una función racional de $n$, comparación o comparación por límite suele ser mejor que cociente. Si contiene factoriales o exponenciales, cociente suele ser mejor que comparación.

Olvidar las condiciones

Los criterios de comparación y comparación por límite son para series de términos positivos. El criterio de series alternantes necesita magnitudes positivas que decrezcan a partir de cierto punto y un límite igual a $0$. El criterio integral necesita positividad, continuidad y comportamiento decreciente en el intervalo que uses.

Tratar $L = 1$ como una conclusión

Tanto en el criterio del cociente como en el de la raíz, $L = 1$ significa que el criterio no resolvió la cuestión. Necesitas otro enfoque.

Suponer que $a_n \to 0$ es suficiente

Es necesario para la convergencia, pero no suficiente. La serie armónica es el contraejemplo clásico.

Dónde se usan los criterios de convergencia de series

Los criterios de convergencia aparecen en todo cálculo y análisis. Ayudan a clasificar sumas infinitas, justificar manipulaciones con series de potencias y decidir si un método de aproximación es matemáticamente seguro de usar.

En la práctica, la habilidad real es reconocer patrones. Estás aprendiendo a relacionar la estructura de una serie con el criterio que revela esa estructura más rápido.

Prueba un problema parecido

Prueba con

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}.$$

Antes de calcular nada, decide qué criterio encaja mejor con la forma y explica por qué. Ese hábito suele ser más valioso que lanzarse de inmediato al álgebra.

Luego resuélvelo y comprueba si ese mismo criterio seguiría siendo tu primera opción para

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}.$$

Probar un caso más es una buena forma de fijar el patrón.