Desarrollo de Taylor

Un desarrollo de Taylor es una aproximación polinómica de una función cerca de un punto elegido. Usa las derivadas de la función en ese punto, por lo que coincide allí con el valor, la pendiente y, a veces, con comportamientos de orden superior. La aproximación suele ser útil solo cerca del centro.

Si $f$ tiene suficientes derivadas cerca de $x=a$, el polinomio de Taylor alrededor de $a$ se construye siguiendo este patrón:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

Detenerse después de un número finito de términos da un polinomio de Taylor. Si se deja que el patrón continúe indefinidamente, se obtiene una serie de Taylor. Estas ideas están muy relacionadas, pero no son el mismo objeto.

Qué iguala el desarrollo de Taylor en el centro

Cada término se elige para que el polinomio coincida con la función en $x=a$.

• $f(a)$ iguala el valor de la función.
• $f'(a)$ iguala la pendiente.
• $f''(a)$ ayuda a igualar la curvatura.

Por eso el desarrollo de Taylor es más que una fórmula memorizada. Es un polinomio diseñado para imitar localmente a la función.

Cuándo funciona bien una aproximación de Taylor

El desarrollo de Taylor es más útil cuando se cumplen tres condiciones:

1. La función tiene las derivadas necesarias en el centro.
2. Solo necesitas valores de $x$ cercanos a ese centro.
3. Un polinomio es más fácil de calcular o analizar que la función original.

La segunda condición es la más importante en la práctica. Incluso para funciones conocidas como $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$, un polinomio de Taylor de grado bajo suele ser mucho mejor cerca del centro que lejos de él.

Ejemplo resuelto: aproximar $e^{0.2}$

Usa un desarrollo de Maclaurin, lo que significa que el centro es $a=0$.

Para $f(x)=e^x$, todas las derivadas siguen siendo $e^x$. En $x=0$:

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

Así, el polinomio de Taylor de segundo grado es

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

Ahora sustituye $x=0.2$:

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

El valor real es aproximadamente $1.2214$, así que la aproximación ya es bastante cercana.

¿Por qué funciona esto? Porque $0.2$ está cerca del centro $0$. Ese mismo polinomio corto normalmente sería menos preciso mucho más lejos.

El desarrollo de Maclaurin es el caso $a=0$

Cuando el centro es $a=0$, el desarrollo de Taylor se convierte en

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

Este caso especial se llama desarrollo de Maclaurin. Aparece con frecuencia porque muchas funciones son fáciles de derivar y evaluar en $0$.

Errores comunes en el desarrollo de Taylor

Confundir un polinomio con una serie

Un desarrollo de Taylor finito es una aproximación polinómica. La serie de Taylor infinita es un objeto distinto. A menudo se confunden los términos, pero la diferencia importa cuando se habla de convergencia.

Usar la aproximación demasiado lejos del centro

El desarrollo se construye alrededor de $a$. Si $x$ está lejos de $a$, una aproximación de grado bajo puede dejar de ser fiable.

Omitir el factorial

El coeficiente de $(x-a)^n$ es $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, no solo $f^{(n)}(a)$. Olvidar el factorial cambia todos los términos de orden superior.

Suponer que toda función suave es igual a su serie de Taylor

Tener derivadas no basta, por sí solo, para garantizar que la serie de Taylor completa sea igual a la función en todos los puntos cercanos. Un desarrollo finito debe tratarse como una aproximación, salvo que el problema dé un resultado más fuerte.

Dónde se usa el desarrollo de Taylor

Los estudiantes suelen encontrarse con el desarrollo de Taylor cuando necesitan:

1. Estimar el valor de una función con un polinomio corto.
2. Simplificar una expresión complicada cerca de un punto de equilibrio.
3. Estudiar el comportamiento local en cálculo, ecuaciones diferenciales o física.
4. Comparar cuánto mejora la precisión al añadir más términos.

Prueba un problema similar

Construye el desarrollo de Taylor de segundo grado de $\sin x$ en $a=0$ y luego úsalo para aproximar $\sin(0.1)$. Si quieres un siguiente paso útil, compara esa aproximación finita con una serie de Taylor.