Une série de Taylor approche une fonction régulière au voisinage d’un point choisi aa par un polynôme qui coïncide avec les dérivées de la fonction en ce point.

Explorateur

Utilisez les commandes pour choisir une fonction, déplacer le point de développement et augmenter le nombre de termes. Le graphique compare la fonction exacte au polynôme de Taylor, et le tracé de l’erreur montre où l’approximation commence à s’écarter.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Formule

Pour une fonction ff, les NN premiers termes du développement de Taylor en aa sont :

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Quand a=0a = 0, on parle de série de Maclaurin.

Points à observer

  1. Le polynôme est généralement plus précis près de x=ax = a.
  2. Ajouter des termes améliore généralement l’ajustement local.
  3. Certaines fonctions ont un rayon de convergence limité à cause de singularités proches.

Séries de Maclaurin courantes

Fonction Premiers termes
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Les séries de Taylor sont un outil fondamental en calcul différentiel et intégral, car elles transforment des fonctions compliquées en polynômes plus faciles à analyser, dériver et calculer.

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