Szereg Taylora przybliża gładką funkcję w pobliżu wybranego punktu aa za pomocą wielomianu, który w tym punkcie ma takie same pochodne jak funkcja.

Eksplorator

Użyj elementów sterujących, aby wybrać funkcję, przesunąć punkt rozwinięcia i zwiększyć liczbę wyrazów. Wykres porównuje dokładną funkcję z wielomianem Taylora, a wykres błędu pokazuje, gdzie przybliżenie zaczyna się pogarszać.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Wzór

Dla funkcji ff pierwsze NN wyrazów rozwinięcia Taylora wokół punktu aa mają postać:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Gdy a=0a = 0, nazywa się to szeregiem Maclaurina.

Na co zwrócić uwagę

  1. Wielomian jest zwykle najdokładniejszy w pobliżu x=ax = a.
  2. Dodanie kolejnych wyrazów zwykle poprawia lokalne dopasowanie.
  3. Niektóre funkcje mają ograniczony promień zbieżności z powodu pobliskich osobliwości.

Typowe szeregi Maclaurina

Funkcja Pierwsze wyrazy
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Szeregi Taylora są jednym z podstawowych narzędzi analizy matematycznej, ponieważ zamieniają złożone funkcje na wielomiany, które łatwiej analizować, różniczkować i obliczać.

Potrzebujesz pomocy z zadaniem?

Prześlij pytanie i otrzymaj zweryfikowane rozwiązanie krok po kroku w kilka sekund.

Otwórz GPAI Solver →