Serie de Fourier — Fórmula, coeficientes y ejemplos

Una serie de Fourier expresa una función periódica como una suma de ondas seno y coseno. En lenguaje sencillo, descompone una forma repetitiva en piezas repetitivas más simples con distintas frecuencias.

Si $f$ es periódica y suave a trozos en un período, esta expansión es el punto de partida estándar. Es útil porque los coeficientes te dicen qué frecuencias importan y con qué intensidad aparecen.

Fórmula de la serie de Fourier para una función $2\pi$-periódica

Para una función $2\pi$-periódica, la serie de Fourier real estándar es

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right)$$

El símbolo $\sim$ importa. Significa que esta es la serie de Fourier asociada a $f$, no automáticamente una identidad algebraica en todos los puntos.

Los coeficientes se obtienen integrando sobre un período completo:

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$$ $$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$$

La idea intuitiva es esta:

• $a_0/2$ es el valor medio de la función en un período.
• $a_n$ mide la parte coseno de frecuencia $n$.
• $b_n$ mide la parte seno de frecuencia $n$.

Coeficientes grandes significan que esa frecuencia aporta más a la forma final.

Qué cambia cuando el período es $T$ en lugar de $2\pi$

Si el período es $T$, la misma idea sigue funcionando, pero las ondas tienen que ajustarse a ese período:

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\right)$$

con coeficientes

$$a_0 = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\,dx$$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T} f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)\,dx$$

Puedes integrar sobre cualquier intervalo de longitud $T$. La condición es simple: el intervalo debe cubrir exactamente un período completo.

Por qué aquí funcionan seno y coseno

El seno y el coseno son periódicos, y distintas frecuencias se mantienen separadas cuando las integras sobre un período completo. Esa ortogonalidad es lo que hace que funcionen las fórmulas de los coeficientes.

Así que la serie en realidad plantea la misma pregunta una y otra vez: ¿cuánta frecuencia $n$ hay dentro de la función original? Los coeficientes responden esa pregunta.

Usa la simetría antes de integrar

Antes de hacer cualquier integral, comprueba si la función es par o impar.

• Si $f$ es par, entonces todos los términos $b_n$ son $0$.
• Si $f$ es impar, entonces $a_0=0$ y todos los términos $a_n$ son $0$.

Esto no resuelve todos los problemas, pero muchas veces elimina la mitad del trabajo antes de empezar a integrar.

Ejemplo resuelto: serie de Fourier de $f(x)=x$ en $(-\pi,\pi)$

Toma

$$f(x) = x \qquad \text{para } -\pi < x < \pi$$

y extiéndela periódicamente con período $2\pi$.

Este es un buen primer ejemplo porque la función es impar. Eso significa que

$$a_0 = 0, \qquad a_n = 0$$

así que solo quedan términos seno.

Ahora calcula $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Como $x$ y $\sin(nx)$ son ambas impares, su producto es par. Entonces

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$$

Usa integración por partes con

$$u=x, \qquad dv=\sin(nx)\,dx$$

Entonces

$$du=dx, \qquad v=-\frac{\cos(nx)}{n}$$

Así,

$$\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx$$

La integral de coseno que queda es

$$\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} =0$$

y el término de borde da

$$\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$$

Por lo tanto,

$$b_n = \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

Así, la serie de Fourier es

$$x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$$

o, escrita término a término,

$$x \sim 2\left(\sin x - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} - \frac{\sin(4x)}{4} + \cdots\right)$$

Esta es la idea clave: una función que no se parece a una onda seno todavía puede construirse a partir de ondas seno si los coeficientes se eligen correctamente.

A qué converge una serie de Fourier

Si la función periódica es suave a trozos, la regla habitual de los libros de texto es:

• En un punto donde la función es continua, la serie de Fourier converge a $f(x)$.
• En una discontinuidad de salto, converge al punto medio

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Esa segunda regla es fácil de pasar por alto. Importa siempre que la extensión periódica tenga saltos, incluso si la fórmula original en un intervalo parecía inofensiva.

Para el ejemplo $f(x)=x$ en $(-\pi,\pi)$, la extensión periódica tiene saltos en $x=\pm\pi$, así que la serie converge a $0$ allí porque el punto medio del salto es $0$.

Errores comunes con series de Fourier

1. Usar las fórmulas de $2\pi$ en un problema con otro período sin reescalar los términos seno y coseno.
2. Olvidar la extensión periódica. Una serie de Fourier representa la versión repetitiva de la función, no solo la fórmula escrita en un intervalo.
3. Saltarse las comprobaciones de simetría y hacer integrales innecesarias.
4. Omitir el factor de normalización, como $1/\pi$ o $2/T$.
5. Suponer que la serie es igual al valor de la función en un salto. Bajo la condición usual de convergencia, se aproxima al punto medio en su lugar.

Dónde se usan las series de Fourier

Las series de Fourier son más útiles cuando un problema tiene estructura periódica o condiciones de contorno periódicas.

• En señales y acústica, describen armónicos y contenido en frecuencia.
• En problemas de calor y ondas, ayudan a resolver ecuaciones diferenciales en intervalos acotados.
• En ingeniería, aproximan entradas y respuestas repetitivas.
• En trabajo numérico, las sumas parciales dan aproximaciones útiles incluso cuando la función completa es más complicada.

Prueba un problema similar de series de Fourier

Prueba el mismo proceso para $f(x)=x^2$ en $(-\pi,\pi)$. Empieza con la simetría antes de integrar.

Ese caso es útil porque $x^2$ es par, así que los términos seno desaparecen. Compararlo con $f(x)=x$ hace que la regla de simetría sea mucho más fácil de recordar.