Uma série de Taylor aproxima uma função suave perto de um ponto escolhido aa com um polinômio que coincide com as derivadas da função nesse ponto.

Explorador

Use os controles para escolher uma função, mover o ponto de expansão e aumentar o número de termos. O gráfico compara a função exata com o polinômio de Taylor, e o gráfico de erro mostra onde a aproximação começa a se afastar.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Fórmula

Para uma função ff, os primeiros NN termos da expansão de Taylor em torno de aa são:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Quando a=0a = 0, isso é chamado de série de Maclaurin.

O que observar

  1. O polinômio geralmente é mais preciso perto de x=ax = a.
  2. Adicionar termos geralmente melhora o ajuste local.
  3. Algumas funções têm um raio de convergência limitado por causa de singularidades próximas.

Séries de Maclaurin comuns

Função Primeiros termos
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

As séries de Taylor são uma ferramenta central no cálculo porque transformam funções complicadas em polinômios mais fáceis de analisar, derivar e calcular.

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