테일러 급수는 매끄러운 함수를 선택한 점 aa 근처에서, 그 점에서의 도함수값과 일치하는 다항식으로 근사하는 방법입니다.

탐색기

컨트롤을 사용해 함수를 선택하고, 전개점을 옮기고, 항의 개수를 늘려 보세요. 그래프는 원래 함수와 테일러 다항식을 비교하며, 오차 그래프는 근사가 어디서부터 벗어나기 시작하는지 보여줍니다.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

공식

함수 ff에 대해, 점 aa를 기준으로 한 테일러 전개의 처음 NN개 항은 다음과 같습니다.

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

a=0a = 0이면 이를 맥클로린 급수라고 합니다.

주목할 점

  1. 다항식은 보통 x=ax = a 근처에서 가장 정확합니다.
  2. 항을 더 많이 추가하면 보통 국소적인 근사가 더 좋아집니다.
  3. 어떤 함수는 가까운 특이점 때문에 수렴 반지름이 제한됩니다.

자주 쓰는 맥클로린 급수

함수 처음 몇 항
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

테일러 급수는 복잡한 함수를 분석하고, 미분하고, 계산하기 쉬운 다항식으로 바꿔 주기 때문에 미적분학의 핵심 도구입니다.

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