Μια σειρά Taylor προσεγγίζει μια ομαλή συνάρτηση κοντά σε ένα επιλεγμένο σημείο aa με ένα πολυώνυμο που ταιριάζει με τις παραγώγους της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Εξερεύνηση

Χρησιμοποιήστε τα χειριστήρια για να επιλέξετε μια συνάρτηση, να μετακινήσετε το σημείο ανάπτυξης και να αυξήσετε τον αριθμό των όρων. Το γράφημα συγκρίνει την ακριβή συνάρτηση με το πολυώνυμο Taylor, και το διάγραμμα σφάλματος δείχνει πού η προσέγγιση αρχίζει να αποκλίνει.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Τύπος

Για μια συνάρτηση ff, οι πρώτοι NN όροι της ανάπτυξης Taylor γύρω από το aa είναι:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Όταν a=0a = 0, αυτό ονομάζεται σειρά Maclaurin.

Τι να Παρατηρήσετε

  1. Το πολυώνυμο είναι συνήθως πιο ακριβές κοντά στο x=ax = a.
  2. Η προσθήκη όρων συνήθως βελτιώνει την τοπική προσαρμογή.
  3. Ορισμένες συναρτήσεις έχουν περιορισμένη ακτίνα σύγκλισης λόγω κοντινών ανωμαλιών.

Συνήθεις Σειρές Maclaurin

Συνάρτηση Πρώτοι όροι
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Οι σειρές Taylor είναι βασικό εργαλείο στον λογισμό, επειδή μετατρέπουν πολύπλοκες συναρτήσεις σε πολυώνυμα που αναλύονται, παραγωγίζονται και υπολογίζονται ευκολότερα.

Χρειάζεσαι βοήθεια με μια άσκηση;

Ανέβασε την ερώτησή σου και πάρε επαληθευμένη λύση βήμα-βήμα σε δευτερόλεπτα.

Άνοιξε το GPAI Solver →