Taylor serisi, düzgün bir fonksiyonu seçilen aa noktası yakınında, o noktadaki türevleriyle eşleşen bir polinomla yaklaştırır.

Keşif Aracı

Bir fonksiyon seçmek, açılım noktasını taşımak ve terim sayısını artırmak için kontrolleri kullanın. Grafik, tam fonksiyonu Taylor polinomuyla karşılaştırır; hata grafiği ise yaklaşımın nerede sapmaya başladığını gösterir.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Formül

Bir ff fonksiyonu için, aa etrafındaki Taylor açılımının ilk NN terimi şöyledir:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

a=0a = 0 olduğunda buna Maclaurin serisi denir.

Dikkat Edilmesi Gerekenler

  1. Polinom genellikle en doğru sonucu x=ax = a yakınında verir.
  2. Terim eklemek genellikle yerel uyumu iyileştirir.
  3. Bazı fonksiyonların, yakındaki tekillikler nedeniyle sınırlı bir yakınsaklık yarıçapı vardır.

Yaygın Maclaurin Serileri

Fonksiyon İlk terimler
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Taylor serileri, karmaşık fonksiyonları analiz etmesi, türevini alması ve hesaplaması daha kolay polinomlara dönüştürdüğü için kalkülüsün temel araçlarından biridir.

Bir soruyla yardıma mı ihtiyacın var?

Sorunuzu yükleyin ve saniyeler içinde doğrulanmış adım adım çözüm alın.

GPAI Solver Aç →