Eine Taylorreihe approximiert eine glatte Funktion in der Nähe eines gewählten Punkts aa durch ein Polynom, das an diesem Punkt mit den Ableitungen der Funktion übereinstimmt.

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Verwende die Steuerelemente, um eine Funktion auszuwählen, den Entwicklungspunkt zu verschieben und die Anzahl der Terme zu erhöhen. Der Graph vergleicht die exakte Funktion mit dem Taylorpolynom, und das Fehlerdiagramm zeigt, wo die Approximation beginnt, abzuweichen.

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

Formel

Für eine Funktion ff lauten die ersten NN Terme der Taylorentwicklung um aa:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Wenn a=0a = 0, nennt man das eine Maclaurinreihe.

Worauf du achten solltest

  1. Das Polynom ist in der Regel in der Nähe von x=ax = a am genauesten.
  2. Mehr Terme verbessern meist die lokale Anpassung.
  3. Manche Funktionen haben wegen nahegelegener Singularitäten nur einen begrenzten Konvergenzradius.

Häufige Maclaurinreihen

Funktion Erste Terme
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

Taylorreihen sind ein zentrales Werkzeug der Analysis, weil sie komplizierte Funktionen in Polynome umwandeln, die sich leichter analysieren, ableiten und berechnen lassen.

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