Series de potencias — radio de convergencia y ejemplos

Una serie de potencias es una suma infinita construida con potencias de $(x-c)$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

Aquí, $c$ es el centro y los números $a_n$ son constantes llamadas coeficientes. En la mayoría de los problemas, la pregunta real es simple: ¿para qué valores de $x$ converge esta serie?

La respuesta se organiza mediante el radio de convergencia $R$. Una serie de potencias converge cuando $|x-c| < R$, diverge cuando $|x-c| > R$ y necesita comprobar los extremos por separado cuando $|x-c| = R$.

Qué significa el radio de convergencia

El radio de convergencia es una distancia desde el centro, no un conjunto de valores de $x$. Si una serie de potencias está centrada en $c$, entonces:

• converge cuando $|x-c| < R$,
• diverge cuando $|x-c| > R$,
• el caso límite $|x-c| = R$ debe comprobarse por separado.

En problemas con variable real, esa distancia se convierte en un intervalo de convergencia. Si el centro es $c$ y el radio es $R$, la parte interior es

$$(c-R,\; c+R),$$

pero los extremos pueden o no estar incluidos en la respuesta final.

Por qué importan las series de potencias

Las series de potencias importan porque te permiten tratar funciones complicadas como si fueran polinomios muy largos. Dentro del intervalo de convergencia, a menudo son más fáciles de derivar, integrar y aproximar.

Ese atajo viene con una condición: esas operaciones término a término están justificadas dentro del intervalo de convergencia, no automáticamente en todas partes.

Ejemplo de serie de potencias: hallar el radio y el intervalo

Considera

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Esta es una serie de potencias centrada en $c=2$. Para hallar el radio de convergencia, aplica el criterio del cociente a

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Calcula

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

El criterio del cociente da convergencia cuando

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

así que

$$|x-2| < 3.$$

Por tanto, el radio de convergencia es

$$R = 3.$$

Eso da el intervalo interior $(-1,5)$. Ahora comprueba los extremos uno por uno.

En $x=5$, la serie se convierte en

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

que diverge.

En $x=-1$, la serie se convierte en

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

que también diverge porque sus términos alternan entre $1$ y $-1$ en lugar de acercarse a $0$.

Así que el intervalo final de convergencia es

$$(-1,5).$$

Este es el proceso completo en un solo ejemplo: identificar el centro, hallar $R$, escribir el intervalo interior y luego comprobar ambos extremos por separado.

Errores comunes con el radio de convergencia

Confundir el radio con el intervalo

El radio es un número como $R=3$. El intervalo es el conjunto de valores reales de $x$, como $(-1,5)$. Están relacionados, pero no son el mismo objeto.

Olvidar el centro $c$

En $\sum a_n (x-c)^n$, el centro es $c$, no siempre $0$. Si la serie usa $(x-2)^n$, la prueba de distancia se basa en $|x-2|$, no en $|x|$.

Saltarse la comprobación de los extremos

El criterio del cociente y el criterio de la raíz suelen decirte qué ocurre en el interior y en el exterior, pero a menudo no dicen nada en los extremos. Aun así, tienes que revisarlos uno por uno.

Suponer que ambos extremos se comportan igual

Aunque el radio sea el mismo a ambos lados, un extremo puede converger mientras el otro diverge. El comportamiento en los extremos depende de la serie que obtienes después de sustituir.

Cuándo se usan las series de potencias

Las series de potencias aparecen en cálculo, ecuaciones diferenciales y aproximación. Son útiles cuando una función es difícil de manejar directamente, pero más fácil de estudiar cerca de un punto mediante su desarrollo en serie.

Las series de Taylor y de Maclaurin son ejemplos importantes. Son series de potencias diseñadas para representar una función localmente, cuando se cumplen las condiciones necesarias.

Prueba una serie de potencias similar

Prueba tu propia versión con

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

Halla el centro, encuentra el radio y luego comprueba los extremos. Si después quieres un caso cercano más, explora una serie de Taylor y observa cómo vuelven a aparecer las mismas ideas de convergencia.