泰勒级数用一个多项式在所选点 a 附近逼近平滑函数，并使该多项式在该点与原函数的各阶导数相匹配。
探索器
使用控件选择函数、移动展开点，并增加项数。图像会对比精确函数与泰勒多项式，误差图则显示逼近从哪里开始偏离。
公式
对于函数 f，在 a 处展开的前 N 项泰勒展开为：
f(x)≈n=0∑N−1n!f(n)(a)(x−a)n
当 a=0 时，这称为麦克劳林级数。
观察要点
- 该多项式通常在 x=a 附近最准确。
- 增加项数通常会改善局部拟合效果。
- 由于附近奇点的存在，有些函数的收敛半径是有限的。
常见的麦克劳林级数
| 函数 |
前几项 |
| ex |
1+x+x2/2!+x3/3!+⋯ |
| sin(x) |
x−x3/3!+x5/5!−⋯ |
| cos(x) |
1−x2/2!+x4/4!−⋯ |
| ln(1+x) |
x−x2/2+x3/3−⋯ |
泰勒级数是微积分中的核心工具，因为它能把复杂函数转化为更容易分析、求导和计算的多项式。