อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ประมาณฟังก์ชันเรียบใกล้จุดที่เลือก aa ด้วยพหุนามที่มีอนุพันธ์ตรงกับฟังก์ชัน ณ จุดนั้น

เครื่องมือสำรวจ

ใช้ตัวควบคุมเพื่อเลือกฟังก์ชัน เลื่อนจุดขยาย และเพิ่มจำนวนพจน์ กราฟจะแสดงการเปรียบเทียบระหว่างฟังก์ชันจริงกับพหุนามเทย์เลอร์ และกราฟความคลาดเคลื่อนจะแสดงว่าการประมาณเริ่มเบี่ยงเบนตรงจุดใด

f(x) = e^x
Maclaurin series is the special case a = 0.
Converges for every real x.
a = 0window: -3 to 3
Black: exact functionBlue: Taylor polynomialDashed: expansion point
Approximation error: polynomial minus exact value
mean absolute error: 0.8563max absolute error: 7.0855
Current polynomial
T3(x) = 1 + x + 0.5x^2 + 0.1667x^3

สูตร

สำหรับฟังก์ชัน ff พจน์ NN พจน์แรกของการขยายเทย์เลอร์รอบ aa คือ:

f(x)≈∑n=0N−1f(n)(a)n!(x−a)nf(x) \approx \sum_{n=0}^{N-1} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

เมื่อ a=0a = 0 จะเรียกว่าอนุกรมแมคคลอริน

สิ่งที่ควรสังเกต

  1. โดยทั่วไปพหุนามจะแม่นยำที่สุดใกล้ x=ax = a
  2. การเพิ่มจำนวนพจน์มักช่วยให้การประมาณเฉพาะที่ดีขึ้น
  3. ฟังก์ชันบางชนิดมีรัศมีการลู่เข้าแบบจำกัด เนื่องจากมีภาวะเอกฐานอยู่ใกล้เคียง

อนุกรมแมคคลอรินที่พบบ่อย

ฟังก์ชัน พจน์แรก ๆ
exe^x 1+x+x2/2!+x3/3!+⋯1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots
sin⁡(x)\sin(x) x−x3/3!+x5/5!−⋯x - x^3/3! + x^5/5! - \cdots
cos⁡(x)\cos(x) 1−x2/2!+x4/4!−⋯1 - x^2/2! + x^4/4! - \cdots
ln⁡(1+x)\ln(1 + x) x−x2/2+x3/3−⋯x - x^2/2 + x^3/3 - \cdots

อนุกรมเทย์เลอร์เป็นเครื่องมือสำคัญในแคลคูลัส เพราะช่วยเปลี่ยนฟังก์ชันที่ซับซ้อนให้เป็นพหุนามที่วิเคราะห์ หาอนุพันธ์ และคำนวณได้ง่ายกว่า

ต้องการความช่วยเหลือในการแก้โจทย์?

อัปโหลดคำถามของคุณแล้วรับคำตอบแบบทีละขั้นตอนที่ผ่านการตรวจสอบในไม่กี่วินาที

เปิด GPAI Solver →