テイラー級数は、滑らかな関数を選んだ点 a の近くで、その点における関数の導関数と一致する多項式で近似する方法です。
Explorer
コントロールを使って関数を選び、展開点を動かし、項数を増やしてみましょう。グラフでは元の関数とテイラー多項式を比較でき、誤差プロットでは近似がどこからずれ始めるかを確認できます。
公式
関数 f に対して、点 a のまわりのテイラー展開の最初の N 項は次のようになります。
f(x)≈n=0∑N−1n!f(n)(a)(x−a)n
a=0 のとき、これはマクローリン級数と呼ばれます。
注目するポイント
- 多項式は通常、x=a の近くで最も正確です。
- 項を増やすと、ふつうは局所的な当てはまりがよくなります。
- 関数によっては、近くに特異点があるため収束半径が限られます。
よくあるマクローリン級数
| 関数 |
最初の項 |
| ex |
1+x+x2/2!+x3/3!+⋯ |
| sin(x) |
x−x3/3!+x5/5!−⋯ |
| cos(x) |
1−x2/2!+x4/4!−⋯ |
| ln(1+x) |
x−x2/2+x3/3−⋯ |
テイラー級数は、複雑な関数を解析・微分・計算しやすい多項式に置き換えられるため、微積分で中心となる重要な道具です。