Serie de Taylor vs. serie de Maclaurin

La diferencia entre la serie de Taylor y la serie de Maclaurin se reduce a un hecho: una serie de Maclaurin es una serie de Taylor centrada en $0$. Si el centro es $a = 0$, es una serie de Maclaurin. Si el centro es cualquier otro valor, es una serie de Taylor.

Parece un cambio pequeño de nombre, pero el centro importa porque una serie suele ser más útil cerca del punto donde se construye.

La diferencia en una sola fórmula

Si una función tiene suficientes derivadas en $a$, su serie de Taylor alrededor de $a$ es

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Si tomas $a = 0$, obtienes la serie de Maclaurin:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Así que la estructura no cambia. Lo que cambia es el centro.

Por qué importa el centro

Los coeficientes salen de derivadas evaluadas en el centro. Si cambias el centro, los números de la serie normalmente también cambian.

Una serie de Maclaurin está construida para describir la función cerca de $x = 0$. Una serie de Taylor alrededor de $a = 2$ está construida para describir la misma función cerca de $x = 2$. Ambas pueden ser correctas, pero una puede ser mucho más práctica para el valor que te interesa.

También debes evitar hacer una afirmación más fuerte de lo que permite el problema. Una serie de Taylor o de Maclaurin siempre está pensada como un desarrollo local. Que realmente sea igual a la función en un intervalo depende de la función y de dónde converge la serie.

Ejemplo resuelto: $e^x$ en dos centros distintos

Toma

$$f(x) = e^x$$

Esta es una buena comparación porque toda derivada de $e^x$ sigue siendo $e^x$.

Serie de Maclaurin en $a = 0$

En $a = 0$, todo valor de derivada es $f^{(n)}(0) = 1$, así que

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Los primeros términos son

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Serie de Taylor en $a = 1$

Ahora centra la misma función en $a = 1$. Entonces todo valor de derivada en el centro es $f^{(n)}(1) = e$, así que

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Los primeros términos son

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

La función siguió siendo la misma. Solo cambió el centro. Esa es toda la diferencia entre la serie de Taylor y la serie de Maclaurin en un solo ejemplo.

Cuándo usar Maclaurin o Taylor

Usa una serie de Maclaurin cuando $0$ sea el punto de referencia natural o cuando las derivadas en $0$ sean fáciles de calcular.

Usa una serie de Taylor alrededor de otro valor $a$ cuando necesites una buena aproximación local cerca de ese valor. Por ejemplo, si quieres estimar el comportamiento cerca de $x = 3$, desarrollar alrededor de $a = 3$ suele ser mejor que desarrollar alrededor de $0$.

Errores comunes que cometen los estudiantes

Tratarlas como ideas diferentes

No son teorías distintas. Maclaurin es un caso especial de Taylor.

Ignorar el centro

Dos series de la misma función pueden ser válidas, pero la que está centrada cerca del valor que buscas suele ser la aproximación más útil.

Suponer que la serie siempre es igual a la función

Eso no es automático. La respuesta depende de la función y del intervalo. La afirmación segura es que la serie da un desarrollo local alrededor de su centro, y luego revisas la convergencia si el problema pide más.

Dónde aparece esto en cálculo

Las series de Taylor y de Maclaurin aparecen cuando aproximas funciones, estudias comportamiento local, resuelves ecuaciones diferenciales o reemplazas una expresión complicada por un polinomio con el que es más fácil trabajar.

La pregunta que se repite es simple: ¿qué punto hace que el modelo local sea más útil?

Prueba un problema parecido

Escribe la serie de $\sin x$ dos veces: una en $a = 0$ y otra en $a = \pi/4$. Comparar esos dos desarrollos es una de las formas más rápidas de fijar la diferencia.