Εναλλάξ εντός γωνίες

Οι εναλλάξ εντός γωνίες είναι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο ευθείες και σε αντίθετες πλευρές μιας τέμνουσας. Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, κάθε ζεύγος εναλλάξ εντός γωνιών έχει το ίδιο μέτρο.

Αυτή η προϋπόθεση είναι σημαντική. Αν οι ευθείες δεν είναι παράλληλες, δεν μπορείς να υποθέσεις ότι αυτές οι γωνίες είναι ίσες.

Πώς να αναγνωρίσεις τις εναλλάξ εντός γωνίες

Τέμνουσα είναι μια ευθεία που διασχίζει δύο άλλες ευθείες. Οι εντός γωνίες είναι εκείνες που βρίσκονται στον χώρο ανάμεσα σε αυτές τις δύο ευθείες.

Από αυτές τις εντός γωνίες, ένα ζεύγος εναλλάξ εντός βρίσκεται σε αντίθετες πλευρές της τέμνουσας. Σε ένα τυπικό σχήμα, ένα ζεύγος είναι η εσωτερική αριστερή γωνία στην πάνω τομή μαζί με την εσωτερική δεξιά γωνία στην κάτω τομή.

Αν δεν είσαι σίγουρος, έλεγξε δύο πράγματα με τη σειρά:

1. Και οι δύο γωνίες πρέπει να βρίσκονται ανάμεσα στις δύο ευθείες.
2. Οι γωνίες πρέπει να είναι σε αντίθετες πλευρές της τέμνουσας.

Πότε οι εναλλάξ εντός γωνίες είναι ίσες

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τέμνουσα, τότε οι εναλλάξ εντός γωνίες είναι ίσες.

Αν οι ευθείες $l$ και $m$ είναι παράλληλες και οι γωνίες $a$ και $b$ σχηματίζουν ένα ζεύγος εναλλάξ εντός γωνιών, τότε

$$a = b$$

Αυτός είναι ο κανόνας που συνήθως χρειάζονται οι μαθητές στα προβλήματα γεωμετρίας. Ισχύει μόνο όταν δίνεται ότι οι ευθείες είναι παράλληλες ή όταν αυτό έχει ήδη αποδειχθεί.

Λυμένο παράδειγμα

Έστω ότι δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τέμνουσα. Μία εναλλάξ εντός γωνία είναι $x + 12$ μοίρες και η αντίστοιχη γωνία της είναι $68^\circ$. Να βρεθεί το $x$.

Επειδή οι ευθείες είναι παράλληλες, οι γωνίες είναι ίσες. Τις θέτουμε ίσες και λύνουμε:

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

Άρα το άγνωστο μέτρο γωνίας είναι $68^\circ$ και η τιμή της μεταβλητής είναι $56$. Το συνηθισμένο μοτίβο είναι: πρώτα αναγνωρίζεις τη σχέση και μετά γράφεις την εξίσωση.

Εναλλάξ εντός γωνίες vs. αντίστοιχες γωνίες

Οι μαθητές συχνά μπερδεύουν τις εναλλάξ εντός γωνίες με τις αντίστοιχες γωνίες, επειδή και οι δύο εμφανίζονται όταν μια τέμνουσα τέμνει παράλληλες ευθείες, και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσες.

Η διαφορά είναι η θέση. Οι εναλλάξ εντός γωνίες βρίσκονται ανάμεσα στις δύο ευθείες και σε αντίθετες πλευρές της τέμνουσας. Οι αντίστοιχες γωνίες βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις στις δύο τομές.

Αν πρώτα ρωτήσεις «μέσα ή έξω;» και μετά «στην ίδια πλευρά ή σε αντίθετες πλευρές;», τότε συνήθως ο χαρακτηρισμός γίνεται ξεκάθαρος.

Συνηθισμένα λάθη

Το πιο συνηθισμένο λάθος είναι ότι παραλείπεται η προϋπόθεση των παράλληλων ευθειών. Ένα σχήμα μπορεί να φαίνεται ότι έχει παράλληλες ευθείες, αλλά δεν πρέπει να χρησιμοποιήσεις την ισότητα εκτός αν το πρόβλημα λέει ότι οι ευθείες είναι παράλληλες ή αν το έχεις αποδείξει.

Ένα άλλο λάθος είναι η επιλογή μιας γωνίας που βρίσκεται έξω από τις δύο ευθείες. Αν μία από τις γωνίες είναι έξω από το ζεύγος των ευθειών, τότε δεν είναι εναλλάξ εντός γωνία.

Υπάρχει και το αντίστροφο θεώρημα: αν μια τέμνουσα τέμνει δύο ευθείες και ένα ζεύγος εναλλάξ εντός γωνιών είναι ίσο, τότε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Πού το χρησιμοποιείς αυτό στη γεωμετρία

Οι εναλλάξ εντός γωνίες εμφανίζονται σε αποδείξεις με κυνηγητό γωνιών, σε σχήματα τριγώνων με βοηθητικές παράλληλες ευθείες και σε προβλήματα όπου χρειάζεται να αιτιολογήσεις ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Η ιδέα είναι απλή, αλλά βοηθά να μετατρέψεις ένα πυκνό σχήμα σε ένα μικρότερο σύνολο ίσων γωνιών που μπορείς να παρακολουθήσεις.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Σχεδίασε δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα. Σημείωσε μία εντός γωνία ως $115^\circ$. Βρες την εναλλάξ εντός γωνία της και μετά βρες την εντός γωνία στην ίδια πλευρά που είναι δίπλα της.

Αν θέλεις να προχωρήσεις ένα βήμα παραπέρα, δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με μια μεταβλητή όπως $x + 20$ και θέσε την ίση με $115$ πριν λύσεις.