Εξωτερικές γωνίες — Θεώρημα και άθροισμα εξωτερικών γωνιών

Οι εξωτερικές γωνίες είναι οι γωνίες έξω από ένα σχήμα που εμφανίζονται όταν προεκτείνεις μία πλευρά. Τα βασικά στοιχεία είναι απλά: σε ένα τρίγωνο, μια εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών, και σε κάθε πολύγωνο, μία εξωτερική γωνία σε κάθε κορυφή αθροίζεται σε $360^\circ$ αν τις μετράς προς την ίδια κατεύθυνση.

Αν θυμάσαι μόνο ένα σύντομο κανόνα, να θυμάσαι αυτό: μια εσωτερική γωνία και η παρακείμενη εξωτερική της πάντα αθροίζονται σε $180^\circ$.

Τι σημαίνει εξωτερική γωνία

Πάρε ένα πολύγωνο και προέκτεινε μία πλευρά πέρα από μια κορυφή. Η γωνία ανάμεσα σε αυτή την προέκταση και την επόμενη πλευρά είναι εξωτερική γωνία.

Αυτή η εξωτερική γωνία βρίσκεται δίπλα στην εσωτερική γωνία της ίδιας κορυφής, οπότε οι δύο μαζί σχηματίζουν ευθεία γραμμή:

$$\text{εσωτερική γωνία} + \text{παρακείμενη εξωτερική γωνία} = 180^\circ$$

Αυτή η σχέση είναι συχνά ο πιο γρήγορος τρόπος να περάσεις από εσωτερικές σε εξωτερικές γωνίες και αντίστροφα.

Πώς λειτουργεί το θεώρημα εξωτερικής γωνίας τριγώνου

Για ένα τρίγωνο, μια εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο εσωτερικών γωνιών που δεν είναι δίπλα της. Αυτές λέγονται απέναντι εσωτερικές γωνίες.

Αν οι απέναντι εσωτερικές γωνίες είναι $a$ και $b$, και η εξωτερική γωνία είναι $e$, τότε

$$e = a + b$$

Αυτό ισχύει μόνο για τις δύο απέναντι εσωτερικές γωνίες. Η εσωτερική γωνία που είναι δίπλα στην εξωτερική δεν ανήκει στο θεώρημα.

Γιατί οι εξωτερικές γωνίες ενός πολυγώνου αθροίζονται σε $360^\circ$

Αν πάρεις μία εξωτερική γωνία σε κάθε κορυφή ενός πολυγώνου και τις μετρήσεις προς την ίδια φορά περιστροφής, το συνολικό άθροισμα είναι πάντα

$$360^\circ$$

Αυτό ισχύει για τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάγωνα και μεγαλύτερα πολύγωνα. Ένας χρήσιμος τρόπος να το φανταστείς είναι να περπατάς γύρω από το σχήμα: οι εξωτερικές γωνίες καταγράφουν τη συνολική στροφή σου, και μία πλήρης διαδρομή σε φέρνει πίσω στην αρχική σου κατεύθυνση, δηλαδή σε μία πλήρη περιστροφή $360^\circ$.

Για ένα κανονικό πολύγωνο, όλες οι εξωτερικές γωνίες είναι ίσες, άρα καθεμία είναι

$$\frac{360^\circ}{n}$$

όπου $n$ είναι ο αριθμός των πλευρών.

Λυμένο παράδειγμα: χρήση του θεωρήματος εξωτερικής γωνίας τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο, δύο απέναντι εσωτερικές γωνίες είναι $48^\circ$ και $67^\circ$. Να βρεθεί η εξωτερική γωνία στην τρίτη κορυφή.

Χρησιμοποίησε το θεώρημα απευθείας:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

Άρα η εξωτερική γωνία είναι $115^\circ$.

Αν θέλεις και την εσωτερική γωνία που είναι δίπλα της, χρησιμοποίησε τη σχέση της ευθείας γραμμής:

$$\text{παρακείμενη εσωτερική γωνία} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει τις δύο πιο συνηθισμένες κινήσεις:

1. Πρόσθεσε τις δύο απέναντι εσωτερικές γωνίες για να βρεις την εξωτερική γωνία.
2. Αφαίρεσε από το $180^\circ$ αν το πρόβλημα ζητά και την παρακείμενη εσωτερική γωνία.

Για ένα κανονικό πολύγωνο, η διαδικασία είναι διαφορετική: πρώτα χρησιμοποίησε το $360^\circ / n$ για να βρεις μία εξωτερική γωνία και μετά αφαίρεσε από το $180^\circ$ αν χρειάζεσαι την εσωτερική γωνία.

Συνηθισμένα λάθη στις εξωτερικές γωνίες

Χρήση λάθος γωνιών στο θεώρημα του τριγώνου

Σε ένα τρίγωνο, η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών, όχι με την εσωτερική γωνία που βρίσκεται δίπλα της.

Πρόσθεση περισσότερων από μίας εξωτερικών γωνιών σε μία κορυφή

Ο κανόνας των $360^\circ$ χρησιμοποιεί μία εξωτερική γωνία ανά κορυφή. Αν μετρήσεις επιπλέον γωνίες ή ανακατέψεις διαφορετικές εξωτερικές γωνίες στην ίδια κορυφή, το άθροισμα δεν θα συμφωνεί με το θεώρημα.

Παράβλεψη της συνθήκης κατεύθυνσης

Για τα πολύγωνα, χρησιμοποίησε μία εξωτερική γωνία σε κάθε κορυφή και μέτρα τες με συνέπεια καθώς κινείσαι γύρω από το σχήμα. Αυτό είναι που κάνει το συνολικό άθροισμα να αντιστοιχεί σε μία πλήρη περιστροφή.

Υπόθεση ότι κάθε πολύγωνο έχει ίσες εξωτερικές γωνίες

Μόνο τα κανονικά πολύγωνα έχουν ίσες εξωτερικές γωνίες. Τα μη κανονικά πολύγωνα εξακολουθούν να έχουν συνολικό άθροισμα εξωτερικών γωνιών $360^\circ$, αλλά οι επιμέρους γωνίες μπορεί να είναι διαφορετικές.

Πότε χρησιμοποιείς τις εξωτερικές γωνίες

Οι εξωτερικές γωνίες εμφανίζονται σε αποδείξεις τριγώνων, σε ερωτήσεις για γωνίες πολυγώνων και σε προβλήματα με κανονικά πολύγωνα. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμες όταν χρειάζεσαι γρήγορα μια άγνωστη γωνία χωρίς να λύσεις πρώτα όλες τις γωνίες του σχήματος.

Συνδέουν επίσης τη γεωμετρία με την έννοια της στροφής. Γι’ αυτό το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου παραμένει σταθερό και είναι εύκολο να το θυμάσαι.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τώρα ένα κανονικό δεκάγωνο. Πρώτα βρες μία εξωτερική γωνία με το $360^\circ / 10$, και μετά βρες την παρακείμενη εσωτερική γωνία.

Αν θέλεις να ελέγξεις τη σκέψη σου βήμα προς βήμα, σύγκρινε τη λύση σου με έναν επιλυτή αφού τελειώσεις και δες αν χρησιμοποίησες το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ή τη σχέση της ευθείας γραμμής στη σωστή στιγμή.