Γωνίες τριγώνου — άθροισμα 180° και είδη

Οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα $180^\circ$ στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Αν γνωρίζεις δύο εσωτερικές γωνίες, αφαίρεσε το άθροισμά τους από το $180^\circ$ για να βρεις την τρίτη. Αυτό το ίδιο γεγονός σε βοηθά επίσης να αποφασίσεις αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Αν οι εσωτερικές γωνίες είναι $A$, $B$ και $C$, τότε

$$A + B + C = 180^\circ$$

Αυτή η πρόταση ισχύει για τη συνηθισμένη επίπεδη γεωμετρία. Στη μη Ευκλείδεια γεωμετρία, όπως σε τρίγωνα σχεδιασμένα πάνω σε σφαίρα, το άθροισμα των γωνιών δεν είναι απαραίτητα $180^\circ$.

Γιατί οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα 180 μοιρών

Ένα τρίγωνο έχει τρεις εσωτερικές γωνίες, μία σε κάθε κορυφή. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αυτές οι τρεις γωνίες έχουν πάντα το ίδιο συνολικό άθροισμα: μια ευθεία γωνία, δηλαδή $180^\circ$.

Συνήθως δεν χρειάζεσαι πλήρη απόδειξη για να χρησιμοποιήσεις αυτόν τον κανόνα. Το σημαντικό είναι ότι μόλις γνωρίζεις οποιεσδήποτε δύο εσωτερικές γωνίες, η τρίτη καθορίζεται.

$$C = 180^\circ - (A + B)$$

Πώς να βρεις μια άγνωστη γωνία σε τρίγωνο

Χρησιμοποίησε τον κανόνα αθροίσματος γωνιών σε δύο γρήγορα βήματα:

Πρώτα πρόσθεσε τις δύο γνωστές εσωτερικές γωνίες.

Έπειτα αφαίρεσε αυτό το άθροισμα από το $180^\circ$.

Λυμένο παράδειγμα: βρες την τρίτη γωνία

Έστω ότι ένα τρίγωνο έχει γωνίες $47^\circ$ και $68^\circ$. Βρες την τρίτη γωνία και ονόμασε το τρίγωνο ως προς το είδος των γωνιών του.

Πρώτα πρόσθεσε τις γνωστές γωνίες:

$$47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$$

Τώρα αφαίρεσε από το $180^\circ$:

$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Άρα η τρίτη γωνία είναι $65^\circ$. Το πλήρες σύνολο γωνιών είναι $47^\circ$, $68^\circ$ και $65^\circ$, οπότε αυτό είναι οξυγώνιο τρίγωνο, επειδή και οι τρεις γωνίες είναι μικρότερες από $90^\circ$.

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες

Οξυγώνιο τρίγωνο

Και οι τρεις εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από $90^\circ$.

Ορθογώνιο τρίγωνο

Μία εσωτερική γωνία είναι ακριβώς $90^\circ$.

Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Μία εσωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από $90^\circ$.

Επειδή το συνολικό άθροισμα είναι $180^\circ$, ένα τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μία ορθή γωνία και το πολύ μία αμβλεία γωνία.

Συνηθισμένα λάθη με τις γωνίες τριγώνου

Χρήση του κανόνα έξω από την Ευκλείδεια γεωμετρία

Ο κανόνας των $180^\circ$ ισχύει για τη συνηθισμένη επίπεδη γεωμετρία. Αυτό είναι το πλαίσιο των περισσότερων σχολικών ασκήσεων, αλλά η συνθήκη έχει σημασία αν το πρόβλημα δεν αφορά επίπεδη επιφάνεια.

Σύγχυση εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών

Ο κανόνας αθροίσματος τριγώνου χρησιμοποιεί τις τρεις εσωτερικές γωνίες, όχι μια εξωτερική γωνία που σχηματίζεται όταν προεκτείνεις μια πλευρά.

Χαρακτηρισμός από το σχήμα αντί για τους αριθμούς

Ένα σκίτσο μπορεί να είναι παραπλανητικό. Ένα τρίγωνο που φαίνεται αμβλυγώνιο μπορεί να μην είναι, γι’ αυτό να το χαρακτηρίζεις από τα μέτρα των γωνιών και όχι από το σχέδιο.

Παράλειψη των μονάδων σε μοίρες

Αν το πρόβλημα είναι σε μοίρες, κράτησε το σύμβολο των μοιρών ώστε να είναι σαφές τι είδος μέτρησης γωνίας χρησιμοποιείς.

Γρήγοροι έλεγχοι που εντοπίζουν λάθη

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, και οι τρεις γωνίες είναι ίσες, άρα καθεμία είναι $60^\circ$.

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές είναι ίσες. Αυτό σου δίνει μία ακόμη σχέση να χρησιμοποιήσεις πριν εφαρμόσεις το συνολικό άθροισμα $180^\circ$.

Αυτά τα στοιχεία είναι χρήσιμα ως γρήγοροι έλεγχοι όταν ένα αποτέλεσμα φαίνεται ύποπτο.

Πότε είναι χρήσιμος ο κανόνας αθροίσματος γωνιών τριγώνου

Ο κανόνας αθροίσματος εμφανίζεται στη βασική γεωμετρία, στις αποδείξεις με τρίγωνα, στα προβλήματα κατασκευών και στη διαμόρφωση της τριγωνομετρίας. Συχνά είναι το πρώτο βήμα πριν χρησιμοποιήσεις ένα πιο ειδικό γεγονός για ισοσκελή, ορθογώνια, ίσα ή όμοια τρίγωνα.

Σε βοηθά επίσης να ελέγχεις αν οι απαντήσεις σου βγάζουν νόημα. Αν τρεις εσωτερικές γωνίες δεν έχουν άθροισμα $180^\circ$ σε ένα συνηθισμένο πρόβλημα επίπεδης γεωμετρίας, κάτι πήγε λάθος νωρίτερα.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε ένα τρίγωνο με γωνίες $35^\circ$ και $90^\circ$. Βρες την τρίτη γωνία και μετά αποφάσισε αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Αν θέλεις ανατροφοδότηση αφού το λύσεις, σύγκρινε τα βήματά σου στον επιλυτή και έλεγξε ότι και οι τρεις εσωτερικές γωνίες εξακολουθούν να έχουν άθροισμα $180^\circ$.