Είδη τριγώνων — ισόπλευρο, ισοσκελές, σκαληνό και άλλα

Τα βασικά είδη τριγώνων καθορίζονται είτε από τα μήκη των πλευρών είτε από τα μεγέθη των γωνιών. Με βάση τις πλευρές, ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο, ισοσκελές ή σκαληνό. Με βάση τις γωνίες, είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Ένα μόνο τρίγωνο συνήθως παίρνει μία ονομασία από καθεμία από αυτές τις δύο ομάδες. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο μπορεί να είναι και ισοσκελές και αμβλυγώνιο, ή και σκαληνό και ορθογώνιο. Αυτή είναι η βασική ιδέα που χρειάζονται οι περισσότεροι μαθητές όταν ψάχνουν για τα "είδη τριγώνων".

Είδη τριγώνων με βάση τα μήκη των πλευρών

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις ίσες πλευρές. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αυτό σημαίνει επίσης ότι και οι τρεις γωνίες του είναι ίσες, άρα κάθε γωνία είναι $60^\circ$.

Επειδή και οι τρεις γωνίες είναι μικρότερες από $90^\circ$, κάθε ισόπλευρο τρίγωνο είναι επίσης οξυγώνιο.

Ισοσκελές τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο ίσες πλευρές. Οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις ίσες πλευρές είναι επίσης ίσες.

Ένα ισοσκελές τρίγωνο δεν είναι απαραίτητα οξυγώνιο. Ανάλογα με τις γωνίες του, μπορεί να είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Σκαληνό τρίγωνο

Ένα σκαληνό τρίγωνο έχει τρεις διαφορετικές πλευρές. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και οι τρεις γωνίες του είναι επίσης όλες διαφορετικές.

Όπως και το ισοσκελές τρίγωνο, ένα σκαληνό τρίγωνο μπορεί να είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Είδη τριγώνων με βάση το μέγεθος των γωνιών

Οξυγώνιο τρίγωνο

Ένα οξυγώνιο τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες μικρότερες από $90^\circ$.

Ορθογώνιο τρίγωνο

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία γωνία ακριβώς ίση με $90^\circ$.

Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει μία γωνία μεγαλύτερη από $90^\circ$. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι $180^\circ$, μπορεί να υπάρχει μόνο μία αμβλεία γωνία.

Πώς να ταξινομήσεις ένα τρίγωνο από τα μήκη των πλευρών

Αν γνωρίζεις μόνο τα τρία μήκη των πλευρών, πρώτα έλεγξε αν μπορούν πράγματι να σχηματίσουν τρίγωνο. Η τριγωνική ανισότητα λέει ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο πλευρών πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη.

Έπειτα, βρες τη μεγαλύτερη πλευρά και ονόμασέ την $c$. Σύγκρινε το $c^2$ με το $a^2 + b^2$ για τις άλλες δύο πλευρές.

$$\text{If } c^2 = a^2 + b^2, \text{ the triangle is right.}$$ $$\text{If } c^2 < a^2 + b^2, \text{ the triangle is acute.}$$ $$\text{If } c^2 > a^2 + b^2, \text{ the triangle is obtuse.}$$

Αυτή η σύγκριση λειτουργεί μόνο αφού τα μήκη των πλευρών ικανοποιούν πρώτα την τριγωνική ανισότητα.

Λυμένο παράδειγμα: ταξινόμησε τα $5$, $5$ και $8$

Έστω ότι ένα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη $5$, $5$ και $8$.

Πρώτα έλεγξε ότι είναι έγκυρο:

$$5 + 5 > 8$$

Άρα αυτά τα μήκη πράγματι σχηματίζουν τρίγωνο. Στη συνέχεια ταξινόμησέ το με βάση τις πλευρές. Δύο πλευρές είναι ίσες, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Τώρα ταξινόμησέ το με βάση τις γωνίες. Η μεγαλύτερη πλευρά είναι το $8$, οπότε σύγκρινε:

$$8^2 = 64$$

και

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

Εφόσον $64 > 50$, το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

Άρα η πλήρης ταξινόμηση είναι ισοσκελές αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Αυτό το παράδειγμα δείχνει γιατί τα δύο συστήματα πρέπει να μένουν ξεχωριστά. Το "ισοσκελές" περιγράφει τις πλευρές. Το "αμβλυγώνιο" περιγράφει τις γωνίες.

Συνηθισμένα λάθη στην ονομασία των ειδών τριγώνων

1. Να αντιμετωπίζεις το ισόπλευρο, το ισοσκελές και το σκαληνό σαν να είναι το ίδιο είδος ονομασίας με το οξυγώνιο, το ορθογώνιο και το αμβλυγώνιο.
2. Να ξεχνάς ότι το αν ένα ισόπλευρο τρίγωνο θεωρείται και ισοσκελές εξαρτάται από τη σύμβαση που χρησιμοποιείται. Σε πολλά σχολικά πλαίσια, το ισόπλευρο αναφέρεται ξεχωριστά στην ταξινόμηση.
3. Να αποκαλείς ένα τρίγωνο σκαληνό πριν ελέγξεις αν τα τρία μήκη μπορούν πράγματι να σχηματίσουν τρίγωνο.
4. Να υποθέτεις ότι το ισοσκελές σημαίνει πάντα οξυγώνιο. Δεν ισχύει.
5. Να χρησιμοποιείς τη σύγκριση του Πυθαγορείου θεωρήματος στα μήκη των πλευρών χωρίς πρώτα να έχεις εντοπίσει τη μεγαλύτερη πλευρά.

Πότε είναι χρήσιμες αυτές οι ταξινομήσεις τριγώνων

Τα είδη τριγώνων εμφανίζονται στη γεωμετρία, στην τριγωνομετρία και σε πολλά προβλήματα με σχήματα. Η ταξινόμηση συχνά σου δείχνει ποιο γεγονός ή ποια συντόμευση είναι πιο χρήσιμη.

Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο τρίγωνο σου επιτρέπει να χρησιμοποιήσεις άμεσα το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ένα ισοσκελές τρίγωνο δίνει συμμετρία ίσων γωνιών. Ένα σκαληνό τρίγωνο συνήθως απαιτεί πιο γενικά εργαλεία, επειδή δεν υπάρχει συντόμευση από ίσες πλευρές.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε να ταξινομήσεις τα μήκη πλευρών $6$, $8$ και $10$. Πρώτα αποφάσισε τον τύπο ως προς τις πλευρές και μετά χρησιμοποίησε τη σύγκριση των τετραγώνων για να αποφασίσεις τον τύπο ως προς τις γωνίες. Έπειτα, άλλαξε τη μεγαλύτερη πλευρά σε $11$ και δες ποιο μέρος της ταξινόμησης αλλάζει.