如何求斜率

要求斜率，用 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量。如果你知道两个点，可以使用斜率公式

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

前提是 $x_2 \ne x_1$。这和“rise over run”的意思相同：直线上升或下降了多少，与它向右移动了多远相比。

斜率表示一条直线变化得有多快。正斜率表示直线从左到右上升，负斜率表示它下降，斜率为 $0$ 表示直线是水平的。

如果 $x_2 - x_1 = 0$，这条直线就是竖直直线。这种情况下斜率不存在，因为公式会涉及除以 $0$。

斜率表示什么

斜率是一种变化率。它比较的是 $y$ 的变化量和 $x$ 的变化量。

这就是为什么斜率会出现在代数、图像和数据表中。只要一个关系以恒定速率变化，这个思路就适用。

如何根据两个点求斜率

分子和分母中的减法顺序要保持一致：

1. 选取两个点。
2. 用 $y$ 值相减，求出 $y$ 的变化量。
3. 按相同顺序用 $x$ 值相减，求出 $x$ 的变化量。
4. 相除。
5. 如果可以，就化简。

如果你把两处减法顺序都反过来，斜率不变。如果只反过来一处，符号就会错。

例题：求两点之间的斜率

求经过 $(2, 3)$ 和 $(5, 9)$ 的直线的斜率。

先写出公式：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

按相同顺序代入坐标：

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

斜率是 $2$。这表示每当 $x$ 增加 $1$，$y$ 就增加 $2$。

你也可以把它理解为 rise over run。从 $(2, 3)$ 到 $(5, 9)$，直线上升了 $6$，向右移动了 $3$，所以斜率是 $6/3 = 2$。

如何从图像中求斜率

在直线上选取两个清晰的网格点。先数竖直方向的变化，再数水平方向的变化。

如果你向上移动 $4$，再向右移动 $2$，斜率就是

$$\frac{4}{2} = 2$$

如果你向下移动 $3$，再向右移动 $1$，斜率就是

$$\frac{-3}{1} = -3$$

使用网格交点有助于避免计数错误。

如何从表格中求斜率

只有当变化率保持不变时，表格才有斜率。选取两行并计算

$$\frac{\text{change in } y}{\text{change in } x}$$

如果你从不同的行对中得到相同的值，那么这个关系就是线性的，而这个固定值就是斜率。

例如，如果 $x$ 从 $1$ 增加到 $3$，同时 $y$ 从 $4$ 增加到 $10$，那么

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

求斜率时的常见错误

一个常见错误是减法顺序不一致。如果你用 $y_2 - y_1$，那么也必须用 $x_2 - x_1$。

另一个错误是把竖直直线的斜率说成 $0$。如果两个点的 $x$ 值相同，分母就是 $0$，所以斜率不存在。

第三个错误是认为任何表格都有斜率。只有当变化率保持不变时，表格才只有一个固定斜率。

斜率在什么时候会用到

当你想描述一个量相对于另一个量如何变化时，就会用到斜率。你会在线性函数作图、写一次方程、带有恒定速率的物理公式，以及符合线性规律的数据表中看到它。

自己试一试

求 $(1, -2)$ 和 $(4, 7)$ 之间的斜率。先写出相减这一步，再化简，然后判断当 $x$ 增加时，这条直线是上升还是下降。

如果你还想再练一个例子，可以自己再选两个新点，并在相除前先检查分母是否仍然不为零。