距离公式——二维与三维中两点间的距离

距离公式用于求坐标平面上或三维空间中两点之间的直线距离。对于二维中的点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

对于三维中的点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$，

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

当你想求两点之间的实际长度，而不只是水平方向或竖直方向的变化时，就要用这个公式。它适用于标准笛卡尔坐标系，并且要求各坐标轴使用相同的单位刻度。

二维距离公式：它测量的是什么

这个公式把两个互相垂直的变化量结合起来：沿 $x$ 方向移动了多远，以及沿 $y$ 方向移动了多远。这两个变化量构成一个直角三角形的两条直角边，而两点之间的距离就是斜边。

为什么距离公式成立

在平面中，距离公式直接来自勾股定理。如果

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

并且

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

那么

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

所以

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

因此，这个公式并不是一个需要单独死记硬背的新规则。它本质上就是用坐标形式写出的勾股定理。

在三维中，只是再加上一个互相垂直的变化量：

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

这只是把同样的思路扩展到了更高一个维度。

例题：求两点之间的距离

求 $(1, 2)$ 和 $(5, 7)$ 之间的距离。

先写出二维距离公式：

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

代入坐标：

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

化简差值：

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

平方并相加：

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

所以准确距离是 $\sqrt{41}$。化成小数，$d \approx 6.4$。

快速检查一下会很有帮助。这两点在水平方向相差 $4$ 个单位，在竖直方向相差 $5$ 个单位，所以直线距离应当大于 $5$ 但小于 $9$。$\sqrt{41}$ 符合这个范围。

三维中的距离公式

基本步骤是一样的，只不过现在还要把 $z$ 的变化算进去。

例如，在 $(1, 2, 3)$ 和 $(5, 7, 6)$ 之间，各坐标变化量分别是 $4$、$5$ 和 $3$，所以

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

方法并没有变化。你仍然是对应坐标相减，把差平方，再相加，最后取正的平方根。

距离公式中的常见错误

1. 先平方再相减。公式用的是 $(x_2 - x_1)^2$，不是 $x_2^2 - x_1^2$。
2. 忘记开平方。如果你在平方和之后就停下来了，那你求出的是 $d^2$，不是 $d$。
3. 坐标轴对应错了。一个 $x$ 坐标必须和另一个 $x$ 坐标对应，$y$ 和 $z$ 也是一样。
4. 代入时漏掉负号。例如，$-1 - 3 = -4$，不是 $4$。
5. 在图像不满足标准笛卡尔距离时仍然套用公式。如果各轴刻度不同，几何距离就会改变。

什么时候使用距离公式

在解析几何中，只要已知两个点，题目要求求它们之间线段的长度，就可以使用距离公式。

常见情形包括：求图像中的边长、判断一个点是否在圆上、比较点到圆心的距离，以及测量三维几何中的直线间隔。

在相信答案之前快速检查

问自己两个问题：

1. 我是不是先相减，再平方？
2. 最终距离与各坐标变化量相比，大小是否合理？

这两个检查能快速发现大多数错误。

试做一道类似题

求二维中 $(-2, 3)$ 和 $(4, -1)$ 之间的距离。然后把你的解法与中点公式对比，看看“求长度”和“求线段中点”有什么不同。