三角形的类型——等边、等腰、不等边等

三角形的主要分类方式有两种：按边长分类和按角的大小分类。按边分，三角形可分为等边三角形、等腰三角形或不等边三角形。按角分，则可分为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。

一个三角形通常会从每一组中各得到一个标签。比如，一个三角形既可以是等腰三角形，也可以是钝角三角形；或者既是不等边三角形，也是直角三角形。这正是很多学生搜索“三角形的类型”时最需要掌握的关键点。

按边长分类的三角形类型

等边三角形

等边三角形有三条相等的边。在欧几里得几何中，这也意味着它的三个角都相等，所以每个角都是 $60^\circ$。

因为三个角都小于 $90^\circ$，所以每个等边三角形也都是锐角三角形。

等腰三角形

等腰三角形至少有两条边相等。与这两条相等边相对的两个角也相等。

等腰三角形不一定是锐角三角形。根据角的情况，它可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。

不等边三角形

不等边三角形的三条边长度都不同。在欧几里得几何中，它的三个角也都互不相同。

和等腰三角形一样，不等边三角形也可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。

按角的大小分类的三角形类型

锐角三角形

锐角三角形的三个角都小于 $90^\circ$。

直角三角形

直角三角形有一个角恰好等于 $90^\circ$。

钝角三角形

钝角三角形有一个角大于 $90^\circ$。由于三角形内角和为 $180^\circ$，所以钝角只能有一个。

已知边长时如何分类三角形

如果你只知道三条边的长度，先检查它们是否真的能构成三角形。三角形不等式说明，任意两边之和必须大于第三边。

之后，找出最长边并记为 $c$。再将 $c^2$ 与另外两边的平方和 $a^2 + b^2$ 进行比较。

$$\text{If } c^2 = a^2 + b^2, \text{ the triangle is right.}$$ $$\text{If } c^2 < a^2 + b^2, \text{ the triangle is acute.}$$ $$\text{If } c^2 > a^2 + b^2, \text{ the triangle is obtuse.}$$

只有在边长先满足三角形不等式之后，这种比较方法才有效。

例题：分类边长为 $5$、$5$ 和 $8$ 的三角形

假设一个三角形的边长分别是 $5$、$5$ 和 $8$。

先检查它是否成立：

$$5 + 5 > 8$$

所以这三条边确实能构成一个三角形。接着按边分类。两条边相等，所以这个三角形是等腰三角形。

现在按角分类。最长边是 $8$，所以比较：

$$8^2 = 64$$

以及

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

因为 $64 > 50$，所以这个三角形是钝角三角形。

因此，完整分类是等腰钝角三角形。

这个例子说明了为什么这两套分类系统应当分开看。“等腰”描述的是边，“钝角”描述的是角。

给三角形命名时的常见错误

1. 把等边、等腰和不等边，当成与锐角、直角和钝角同一种类型的标签。
2. 忘记等边三角形是否也算等腰三角形，取决于所采用的约定。在很多学校的分类中，等边三角形会被单独列出。
3. 还没检查三条边是否真的能构成三角形，就先把它称为不等边三角形。
4. 认为等腰三角形一定是锐角三角形。其实并不是。
5. 在没有先找出最长边之前，就直接用勾股关系的平方比较来判断角的类型。

这些三角形分类什么时候有用

三角形分类常见于几何、三角学以及许多图形题中。分类结果往往能告诉你，哪条性质或哪种捷径最有用。

例如，直角三角形可以直接使用勾股定理。等腰三角形具有等角对称性。不等边三角形通常需要更一般的方法，因为没有等边带来的简便结论。

试试类似的问题

试着分类边长为 $6$、$8$ 和 $10$ 的三角形。先判断它的边的类型，再用平方比较判断它的角的类型。之后，把最长边改成 $11$，看看分类中的哪一部分会发生变化。