余弦定理——公式、证明与例题

当三角形不是直角三角形，并且你已知两边及其夹角，或已知三条边时，就可以使用余弦定理。对于分别对应角 $A$、$B$、$C$ 的边 $a$、$b$、$c$，标准形式是

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

这里，边 $c$ 是角 $C$ 的对边，而 $C$ 是边 $a$ 和 $b$ 之间的夹角。其余两条边也遵循同样的规律：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

如果 $C = 90^\circ$，那么 $\cos C = 0$，公式就变成 $c^2 = a^2 + b^2$。这就是为什么说余弦定理是勾股定理的推广。

什么时候使用余弦定理

最常见的情形是 SAS：已知两边和它们的夹角。这里的夹角，就是这两条已知边所形成的角。

它也适用于 SSS：三条边都已知，而你想求一个角。这种情况下，要先整理公式，再使用反余弦函数。

如果你已经知道一条边和它的对角，那么正弦定理通常是更好的首选工具。

这个公式表示什么

如果两条边保持不变，第三条边的长度就取决于它们之间的夹角。

夹角越大，对边越长；夹角越小，对边越短。项 $-2ab\cos C$ 的作用，就是在简单的 $a^2 + b^2$ 基础上，根据这个角进行修正。

这个修正项是最值得记住的部分。没有它，你就等于把所有三角形都当成直角三角形来处理了。

例题：求一条边

设一个三角形中，$a = 5$，$b = 7$，夹角 $C = 60^\circ$。求边 $c$。

因为 $c$ 是已知角 $C$ 的对边，所以使用

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

代入数值：

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

由于 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

所以

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

这个答案是合理的：第三边比 $5$ 长，但小于 $7 + 5 = 12$，而且这个角是中等大小，不是特别大。

已知三边时如何求角

如果三条边都已知，先解出余弦值：

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

然后计算

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

只有当 $a$、$b$、$c$ 能构成一个有效三角形时，这样做才有意义。如果 $\cos^{-1}$ 内部的值超出区间 $[-1, 1]$，那说明前面的代数运算或数据本身有错误。

一个简短的证明思路

一种很简洁的证明方法来自坐标法。

把三角形的一条边放在 $x$ 轴上。设一个顶点在 $(0, 0)$，另一个顶点在 $(b, 0)$。第三个顶点放在 $(a\cos C, a\sin C)$，因为这个点到原点的距离是 $a$，并且与 $x$ 轴成角 $C$。

现在对点 $(b, 0)$ 和 $(a\cos C, a\sin C)$ 使用距离公式：

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

展开得：

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

再利用

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

把最后两项合并：

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

这就是余弦定理。

常见错误

边和角对应错了

公式中的角，必须与等式左边那条边互为对边。如果你使用角 $C$，那么左边必须是 $c^2$。

把所有三角形都当成直角三角形来套公式

如果角不是 $90^\circ$，就不能把 $-2ab\cos C$ 这一项省掉。

忘记检查计算器模式

如果题目给的是角度，计算器必须设为角度制。如果给的是弧度，就要使用弧度制。

求角时没有先仔细整理出余弦

当三条边都已知时，要先变形，再使用反余弦。这里一个小小的代数错误，最后都可能让角度偏差很大。

余弦定理有哪些应用

余弦定理常见于几何、三角学、测量、导航，以及任何需要在非直角三角形中求距离的问题。

在学校数学里，它主要有两个用途：

• 已知两边和夹角，求未知边
• 已知三条边，求未知角

如果你面对的是直角三角形，勾股定理通常更简单。如果你已知的是角和一组对边，那么正弦定理可能更合适。

自己试一试

取 $a = 8$、$b = 11$、$C = 30^\circ$，然后求 $c$。接着把 $C$ 改成 $120^\circ$，再比较结果。观察对边如何变长，是帮助你快速直观理解这个公式的最好方法之一。

如果你想用自己的数字获得分步反馈，可以在 GPAI Solver 中探索一个类似的三角形。