乘积求导法则

乘积求导法则告诉你，两个相乘的表达式该如何求导。如果 $f$ 和 $g$ 在 $x$ 处都可导，那么

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

这就是像 $x^2\sin(x)$ 和 $x e^x$ 这类乘积的求导法则。先对第一个因子求一次导，再对第二个因子求一次导，然后把结果相加。

乘积求导公式

从

$$y = f(x)g(x)$$

开始。

如果两个函数都可导，那么

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

用文字来说：第一个求导、第二个保留；然后第一个保留、第二个求导。这个法则依赖于两个因子都会随着 $x$ 变化。

为什么乘积求导有两项

当两个会变化的量相乘时，乘积可以通过两种方式发生变化。第一种是第一个因子变化，而第二个因子在那一刻保持不变；第二种是第二个因子变化，而第一个因子保持不变。

这就是为什么导数有两项，而不是只有一项。

例题：$x^2\sin(x)$

求下式的导数：

$$y = x^2 \sin(x)$$

这是两个函数的乘积：

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

分别对每个因子求导：

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

应用乘积求导法则：

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

所以

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

一个常见的错误答案是 $2x\cos(x)$。这是把两个因子都分别求导后再相乘得到的，但这并不是乘积求导法则。

乘积求导常见错误

1. 写成 $f'(x)g'(x)$。一般来说，这并不是 $f(x)g(x)$ 的导数。
2. 漏掉一项，只写 $f'(x)g(x)$ 或只写 $f(x)g'(x)$。
3. 把乘积法则和链式法则混淆。$x^2\sin(x)$ 是乘积，而 $\sin(x^2)$ 是复合函数。
4. 当某个因子是较长的表达式时漏写括号，例如 $(x^2+1)e^x$。

什么时候使用乘积求导法则

当一个函数写成“一个可导因子乘以另一个可导因子”，并且两者都依赖于 $x$ 时，就要使用乘积求导法则。常见情况包括：

1. 多项式乘三角函数，例如 $x^3\cos(x)$
2. 多项式乘指数函数，例如 $x e^x$
3. 对数函数的乘积，例如 $x\ln(x)$
4. 其中一个因子还需要用到链式法则的乘积，例如 $x\sin(x^2)$

如果其中一个因子是常数，这个法则就会化简为常数倍法则。

求导后的快速检查

在化简之前，乘积求导的答案通常会有相加的两项。如果你一开始只看到一项，就检查一下自己是不是漏掉了导数的一部分。

自己试一试

求 $y = x^3 e^x$ 的导数，并检查你的结果是否有两项。然后再比较一个相近的例子：对于 $y = e^{x^3}$，注意它的结构已经变了，所以这里更适合使用链式法则。