导数公式与求导法则

导数公式回答的就是两个问题：常见函数怎么求导，遇到乘积、商或复合函数时该套哪条法则。做题时最有用的顺序不是先展开，而是先认出结构，再选公式。

如果你只想先抓住核心，可以先记这一句：基本函数先背公式，和差分别求，乘积用乘积法则，商用商法则，函数套函数用链式法则。

常见导数公式速查表

先记最常见的基本函数导数。它们是后面所有求导法则的材料。

函数	导数公式	提醒
常数 $c$	$(c)' = 0$	常数不随 $x$ 变化
幂函数 $x^n$	$(x^n)' = nx^\{n-1\}$	适用于常数指数 $n$
指数函数 $e^x$	$(e^x)' = e^x$	形式不变
对数函数 $\ln x$	$(\ln x)' = \frac\{1\}\{x\}$	要求 $x > 0$
正弦函数 $\sin x$	$(\sin x)' = \cos x$	三角函数里最常见
余弦函数 $\cos x$	$(\cos x)' = -\sin x$	容易漏负号

五条常用求导法则

基本函数公式解决单个函数怎么求导，求导法则解决结构变复杂以后怎么办。

结构	导数公式	关键提醒
常数倍 $c f(x)$	$(c f(x))' = c f'(x)$	常数可以直接提出
和差 $f(x) \pm g(x)$	$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$	每一项分别求导
乘积 $f(x)g(x)$	$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	不是各自求导后相乘
商 $\frac\{f(x)\}\{g(x)\}$	$\left(\frac\{f(x)\}\{g(x)\}\right)' = \frac\{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)\}\{[g(x)]^2\}$	只在 $g(x) \ne 0$ 时讨论
复合函数 $f(g(x))$	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	这就是链式法则

怎么快速判断该用哪条公式

先看最外层。$(3x-1)^4$ 的外层是 4 次幂，但里面还有 $3x-1$，所以不能只用幂函数求导，还要补上链式法则。

$x^2(3x-1)^4$ 则更进一步。它的最外层是两个因式相乘，所以第一步先用乘积法则；等拆到 $(3x-1)^4$ 时，再用链式法则。很多导数题的关键，不在计算，而在第一眼有没有看对结构。

例题：同时用乘积法则和链式法则

求函数

$$f(x) = x^2(3x-1)^4$$

的导数。这个例子很典型，因为它同时考先看外层与内层继续求导。

先看最外层，它是两个因式相乘，所以先用乘积法则：

$$f'(x) = (x^2)'(3x-1)^4 + x^2 \cdot \big((3x-1)^4\big)'$$

第一项比较直接：

$$(x^2)' = 2x$$

第二项里，$(3x-1)^4$ 是复合函数，要用链式法则：

$$\big((3x-1)^4\big)' = 4(3x-1)^3 \cdot (3x-1)'$$

而

$$(3x-1)' = 3$$

所以

$$\big((3x-1)^4\big)' = 12(3x-1)^3$$

代回原式：

$$f'(x) = 2x(3x-1)^4 + 12x^2(3x-1)^3$$

如果想写得更紧凑，可以继续提公因式：

$$f'(x) = 2x(3x-1)^3(9x-1)$$

这道题最值得记住的不是最后答案，而是顺序：先看外层是乘积，再看某个因式内部是不是复合函数。顺序一旦看对，公式通常就不会选错。

常见错误最容易丢分的地方

把幂法则套得太快

$(3x-1)^4$ 不是单纯的 $x^4$。如果你只写成 $4(3x-1)^3$，就少了内层导数 $3$。

乘积法则只写一项

$\big(f(x)g(x)\big)'$ 一定会出现两项。只写成 $f'(x)g'(x)$ 或只写其中一项，都是典型错误。

商法则忘了条件

商法则讨论的是 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 的导数，所以至少要保证原式在该点有意义，也就是 $g(x) \ne 0$。

先展开不一定更省事

有些式子展开后反而更长。导数题很多时候比的是结构识别，不是代数展开速度。

导数公式通常用在哪些题里

导数公式最直接的用途是求切线斜率、研究函数增减、找极大值和极小值。再往下学，你会在速度、加速度、边际变化率、曲线分析、微分近似里不断遇到它们。

如果题目问的是这一点变化有多快，那基本就已经进入导数的应用范围了。

做完题这样自检最快

做完一道求导题，可以用下面三个问题检查自己：

1. 我选的法则，真的符合最外层结构吗？
2. 如果有复合函数，答案里有没有保留内层导数？
3. 如果是乘积或商，结果的形式有没有写完整？

下一步：试着自己做一题

先自己试两道：

$$g(x) = \frac{x^2+1}{x-3}$$

和

$$h(x) = \sin(2x^2)$$

第一题重点看你会不会正确使用商法则，第二题重点看你有没有把链式法则中的内层导数保留下来。如果你想继续巩固，可以再试一题同样带有复合结构的函数，看看自己能不能先判断结构，再动笔计算。