Règle du produit

La règle du produit indique comment dériver deux expressions multipliées l’une par l’autre. Si $f$ et $g$ sont toutes deux dérivables en $x$, alors

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

C’est la règle de dérivation pour des produits comme $x^2\sin(x)$ et $x e^x$. On dérive une fois le premier facteur, puis une fois le second facteur, et on additionne les résultats.

Formule de la règle du produit

On part de

$$y = f(x)g(x)$$

Si les deux fonctions sont dérivables, alors

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Autrement dit : on dérive le premier et on garde le second, puis on garde le premier et on dérive le second. La règle repose sur le fait que les deux facteurs varient avec $x$.

Pourquoi la règle du produit comporte deux termes

Quand on multiplie deux quantités qui varient, le produit peut varier de deux façons. Le premier facteur peut changer pendant que le second reste fixé à cet instant, ou le second facteur peut changer pendant que le premier reste fixé.

C’est pour cela que la dérivée comporte deux termes au lieu d’un seul.

Exemple corrigé : $x^2\sin(x)$

Déterminez la dérivée de

$$y = x^2 \sin(x)$$

C’est un produit de deux fonctions :

$$f(x) = x^2 \quad \text{et} \quad g(x) = \sin(x)$$

Dérivez chaque facteur :

$$f'(x) = 2x \quad \text{et} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Appliquez la règle du produit :

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Donc

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Une erreur fréquente consiste à écrire $2x\cos(x)$. Cela vient du fait qu’on dérive les deux facteurs puis qu’on multiplie les résultats, ce qui n’est pas la règle du produit.

Erreurs fréquentes avec la règle du produit

1. Écrire $f'(x)g'(x)$. En général, ce n’est pas la dérivée de $f(x)g(x)$.
2. Oublier un terme et écrire seulement $f'(x)g(x)$ ou seulement $f(x)g'(x)$.
3. Confondre la règle du produit avec la règle de la chaîne. $x^2\sin(x)$ est un produit, mais $\sin(x^2)$ est une composition.
4. Oublier les parenthèses quand l’un des facteurs est une expression plus longue, comme $(x^2+1)e^x$.

Quand utiliser la règle du produit

Utilisez la règle du produit lorsqu’une fonction s’écrit comme un facteur dérivable multiplié par un autre facteur dérivable, et que les deux dépendent de $x$. Voici des cas fréquents :

1. Un polynôme multiplié par une fonction trigonométrique, comme $x^3\cos(x)$
2. Un polynôme multiplié par une exponentielle, comme $x e^x$
3. Un produit avec un logarithme, comme $x\ln(x)$
4. Un produit où l’un des facteurs nécessite aussi la règle de la chaîne, comme $x\sin(x^2)$

Si l’un des facteurs est une constante, la règle se réduit à la règle du multiple constant.

Une vérification rapide après la dérivation

Avant simplification, une réponse obtenue avec la règle du produit comporte généralement deux termes additionnés. Si vous n’en voyez qu’un seul immédiatement, vérifiez que vous n’avez pas oublié une partie de la dérivée.

Essayez vous-même

Dérivez $y = x^3 e^x$ et vérifiez que votre résultat comporte bien deux termes. Essayez ensuite une comparaison proche : pour $y = e^{x^3}$, remarquez que la structure a changé, donc la règle de la chaîne est ici l’outil le plus adapté.