กฎอนุพันธ์ของผลคูณ

กฎอนุพันธ์ของผลคูณบอกวิธีหาอนุพันธ์ของนิพจน์สองตัวที่คูณกันอยู่ ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ แล้ว

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

นี่คือกฎการหาอนุพันธ์สำหรับผลคูณ เช่น $x^2\sin(x)$ และ $x e^x$ ให้หาอนุพันธ์ของพจน์แรกหนึ่งครั้ง แล้วหาอนุพันธ์ของพจน์ที่สองหนึ่งครั้ง จากนั้นนำผลลัพธ์มาบวกกัน

สูตรกฎอนุพันธ์ของผลคูณ

เริ่มจาก

$$y = f(x)g(x)$$

ถ้าทั้งสองฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

พูดง่าย ๆ คือ หาอนุพันธ์ของพจน์แรกและคงพจน์ที่สองไว้ จากนั้นคงพจน์แรกไว้และหาอนุพันธ์ของพจน์ที่สอง กฎนี้อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าทั้งสองพจน์เปลี่ยนแปลงตาม $x$

ทำไมกฎอนุพันธ์ของผลคูณจึงมีสองพจน์

เมื่อปริมาณสองตัวที่เปลี่ยนแปลงได้ถูกนำมาคูณกัน ผลคูณสามารถเปลี่ยนแปลงได้สองทาง พจน์แรกอาจเปลี่ยนในขณะที่พจน์ที่สองคงที่ชั่วขณะนั้น หรือพจน์ที่สองอาจเปลี่ยนในขณะที่พจน์แรกคงที่

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าอนุพันธ์มีสองพจน์แทนที่จะมีเพียงพจน์เดียว

ตัวอย่างแบบละเอียด: $x^2\sin(x)$

จงหาอนุพันธ์ของ

$$y = x^2 \sin(x)$$

นี่คือผลคูณของฟังก์ชันสองตัว:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

หาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์:

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

ใช้กฎอนุพันธ์ของผลคูณ:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

ดังนั้น

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

คำตอบที่ผิดซึ่งพบบ่อยคือ $2x\cos(x)$ ซึ่งเกิดจากการหาอนุพันธ์ของทั้งสองพจน์แล้วนำผลลัพธ์มาคูณกัน วิธีนั้นไม่ใช่กฎอนุพันธ์ของผลคูณ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกฎอนุพันธ์ของผลคูณ

1. เขียนเป็น $f'(x)g'(x)$ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่อนุพันธ์ของ $f(x)g(x)$
2. ลืมไปหนึ่งพจน์ แล้วเขียนเพียง $f'(x)g(x)$ หรือเพียง $f(x)g'(x)$
3. สับสนระหว่างกฎอนุพันธ์ของผลคูณกับกฎลูกโซ่ โดย $x^2\sin(x)$ เป็นผลคูณ แต่ $\sin(x^2)$ เป็นฟังก์ชันประกอบ
4. ละวงเล็บเมื่อพจน์หนึ่งเป็นนิพจน์ที่ยาวกว่า เช่น $(x^2+1)e^x$

ควรใช้กฎอนุพันธ์ของผลคูณเมื่อใด

ใช้กฎอนุพันธ์ของผลคูณเมื่อฟังก์ชันเขียนอยู่ในรูปพจน์ที่หาอนุพันธ์ได้หนึ่งพจน์คูณกับอีกพจน์ที่หาอนุพันธ์ได้ และทั้งสองพจน์ขึ้นอยู่กับ $x$ กรณีที่พบบ่อย ได้แก่:

1. พหุนามคูณกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น $x^3\cos(x)$
2. พหุนามคูณกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เช่น $x e^x$
3. ผลคูณที่มีลอการิทึม เช่น $x\ln(x)$
4. ผลคูณที่มีพจน์หนึ่งต้องใช้กฎลูกโซ่ด้วย เช่น $x\sin(x^2)$

ถ้าพจน์หนึ่งเป็นค่าคงที่ กฎนี้จะลดรูปเป็นกฎของค่าคงที่คูณฟังก์ชัน

วิธีตรวจคำตอบอย่างรวดเร็วหลังหาอนุพันธ์

ก่อนจัดรูป คำตอบจากกฎอนุพันธ์ของผลคูณมักมีสองพจน์ที่บวกกันอยู่ ถ้าคุณเห็นเพียงพจน์เดียวทันที ให้ตรวจดูว่าคุณทำส่วนหนึ่งของอนุพันธ์หายไปหรือไม่

ลองทำด้วยตัวเอง

จงหาอนุพันธ์ของ $y = x^3 e^x$ และตรวจดูว่าคำตอบของคุณมีสองพจน์หรือไม่ จากนั้นลองเปรียบเทียบกับกรณีใกล้เคียง: สำหรับ $y = e^{x^3}$ จะเห็นว่าโครงสร้างเปลี่ยนไป ดังนั้นกฎลูกโซ่จึงเป็นเครื่องมือที่เหมาะสมกว่า