导数法则——幂法则、乘积法则、商法则与链式法则

导数法则告诉你，面对不同结构的函数该用哪一种求导公式。如果表达式是幂、乘积、商，或者嵌套函数，先根据它最外层的结构来选法则。养成这个习惯后，大多数求导题都会容易很多。

主要导数法则及其适用情形

幂法则

如果 $n$ 是实常数，那么

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

例如：$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$。

当表达式只是 $x$ 的普通幂时，就用这个法则。如果底数不只是 $x$，比如 $(3x+1)^5$，那还需要用到链式法则。

乘积法则

如果 $f$ 和 $g$ 都可导，那么

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

当两个会变化的表达式相乘时，用乘积法则。导数会有两项，因为任意一个因子的变化都可能使整个乘积发生变化。

商法则

如果 $f$ 和 $g$ 都可导，且 $g(x) \ne 0$，那么

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

当一个会变化的表达式除以另一个时，用商法则。条件 $g(x) \ne 0$ 很重要，因为当分母为零时，原函数没有定义。

链式法则

如果 $y = f(g(x))$，并且两个函数在需要的地方都可导，那么

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

当一个函数嵌套在另一个函数内部时，用链式法则。通俗地说：先对外层函数求导，保留内层表达式不动，再乘以内层表达式的导数。

如何判断该用哪条导数法则

不要一开始就去找记住的公式。先问自己：这个表达式最外层的结构是什么？

• $x^7$ 是幂。
• $x^2\sin(x)$ 是乘积。
• $\frac{x^2+1}{x-3}$ 是商。
• $(2x-1)^4$ 或 $\sin(x^2)$ 是复合函数，所以要用链式法则。

如果一个表达式混合了多种结构，就先从最外层开始。例如，$x(2x-1)^4$ 整体上是乘积，虽然其中一个因子还需要再用链式法则。

例题：乘积法则中嵌套链式法则

求下式的导数：

$$y = x^2(3x+1)^4$$

最外层结构是乘积，所以先用乘积法则。设

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

则

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

先对第一个因子求导：

$$f'(x) = 2x$$

再用链式法则对第二个因子求导：

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

把两部分代回去：

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

这已经是正确的最终答案。如果你想写成更整洁的因式分解形式，可以提出公因式：

$$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

关键在于顺序。先根据最外层结构选择乘积法则，再只在因子 $(3x+1)^4$ 的内部需要时使用链式法则。

导数法则中的常见错误

1. 函数实际上是乘积或商，却对整个表达式直接使用幂法则。
2. 把乘积的导数写成 $f'(x)g'(x)$，而不是两个项相加。
3. 忘记商法则分子中的减号。
4. 在链式法则中忘记内部导数，比如把 $(3x+1)^4$ 只求成 $4(3x+1)^3$。
5. 过早展开，导致代数运算比实际需要更复杂。

这些法则在微积分中的用途

凡是需要变化率的地方，导数法则都很重要。在微积分课程中，这通常包括切线斜率、运动、最优化和函数图像的变化。在物理中，它们会出现在速度和加速度里。在工程或经济学中，它们帮助描述一个量变化时另一个量如何响应。

试试类似的问题

求导：

$$y = \frac{x^2+1}{(2x-3)^2}$$

这是一个很好的结构判断练习，因为最外层形式是商，而分母内部还需要用链式法则。

如果你想看一个更接近的对比例子，接下来可以学习 Chain Rule 或 Product Rule。