Regra do Produto

A regra do produto mostra como derivar duas expressões que estão sendo multiplicadas. Se $f$ e $g$ são ambas diferenciáveis em $x$, então

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Essa é a regra de derivação para produtos como $x^2\sin(x)$ e $x e^x$. Derive o primeiro fator uma vez, depois o segundo fator uma vez, e some os resultados.

Fórmula da regra do produto

Comece com

$$y = f(x)g(x)$$

Se ambas as funções são diferenciáveis, então

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Em palavras: derive a primeira e mantenha a segunda, depois mantenha a primeira e derive a segunda. A regra depende do fato de que os dois fatores variam com $x$.

Por que a regra do produto tem dois termos

Quando duas quantidades que variam são multiplicadas, o produto pode mudar de duas maneiras. O primeiro fator pode mudar enquanto o segundo fica fixo naquele momento, ou o segundo fator pode mudar enquanto o primeiro fica fixo.

É por isso que a derivada tem dois termos em vez de um.

Exemplo resolvido: $x^2\sin(x)$

Encontre a derivada de

$$y = x^2 \sin(x)$$

Este é um produto de duas funções:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

Derive cada fator:

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Aplique a regra do produto:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Então

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Uma resposta errada comum é $2x\cos(x)$. Isso vem de derivar os dois fatores e multiplicar os resultados, o que não é a regra do produto.

Erros comuns na regra do produto

1. Escrever $f'(x)g'(x)$. Em geral, isso não é a derivada de $f(x)g(x)$.
2. Esquecer um termo e escrever apenas $f'(x)g(x)$ ou apenas $f(x)g'(x)$.
3. Confundir a regra do produto com a regra da cadeia. $x^2\sin(x)$ é um produto, mas $\sin(x^2)$ é uma composição.
4. Omitir parênteses quando um fator é uma expressão maior, como $(x^2+1)e^x$.

Quando usar a regra do produto

Use a regra do produto quando uma função estiver escrita como um fator diferenciável vezes outro fator diferenciável, e ambos dependerem de $x$. Casos comuns incluem:

1. Um polinômio vezes uma função trigonométrica, como $x^3\cos(x)$
2. Um polinômio vezes uma exponencial, como $x e^x$
3. Um produto com logaritmo, como $x\ln(x)$
4. Um produto em que um dos fatores também exige a regra da cadeia, como $x\sin(x^2)$

Se um dos fatores for uma constante, a regra se reduz à regra do múltiplo constante.

Uma verificação rápida depois de derivar

Antes de simplificar, uma resposta obtida pela regra do produto geralmente tem dois termos somados. Se você vir apenas um termo logo de cara, verifique se não deixou escapar parte da derivada.

Tente sua própria versão

Derive $y = x^3 e^x$ e confira se o seu resultado tem dois termos. Depois tente uma comparação próxima: para $y = e^{x^3}$, note que a estrutura mudou, então a regra da cadeia é a ferramenta mais adequada nesse caso.