Reguła iloczynu

Reguła iloczynu mówi, jak różniczkować dwa wyrażenia, które są ze sobą mnożone. Jeśli $f$ i $g$ są różniczkowalne w punkcie $x$, to

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Jest to wzór na pochodną iloczynu, na przykład dla $x^2\sin(x)$ i $x e^x$. Różniczkujesz najpierw pierwszy czynnik, potem drugi, a następnie dodajesz otrzymane wyniki.

Wzór na regułę iloczynu

Zacznij od

$$y = f(x)g(x)$$

Jeśli obie funkcje są różniczkowalne, to

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Słownie: zróżniczkuj pierwszy czynnik i zostaw drugi bez zmian, potem zostaw pierwszy bez zmian i zróżniczkuj drugi. Ta reguła działa dlatego, że oba czynniki zmieniają się wraz z $x$.

Dlaczego reguła iloczynu ma dwa składniki

Gdy mnożysz dwie zmieniające się wielkości, iloczyn może zmieniać się na dwa sposoby. Może zmieniać się pierwszy czynnik, podczas gdy drugi w danej chwili pozostaje stały, albo może zmieniać się drugi czynnik, gdy pierwszy pozostaje stały.

Dlatego pochodna ma dwa składniki, a nie jeden.

Przykład: $x^2\sin(x)$

Wyznacz pochodną funkcji

$$y = x^2 \sin(x)$$

To jest iloczyn dwóch funkcji:

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = \sin(x)$$

Oblicz pochodną każdego czynnika:

$$f'(x) = 2x \quad \text{and} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Zastosuj regułę iloczynu:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Zatem

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Częstą błędną odpowiedzią jest $2x\cos(x)$. Wynika to z obliczenia pochodnych obu czynników i pomnożenia wyników, co nie jest regułą iloczynu.

Najczęstsze błędy przy regule iloczynu

1. Zapisywanie $f'(x)g'(x)$. Ogólnie rzecz biorąc, nie jest to pochodna $f(x)g(x)$.
2. Pomijanie jednego składnika i zapisywanie tylko $f'(x)g(x)$ albo tylko $f(x)g'(x)$.
3. Mylenie reguły iloczynu z regułą łańcuchową. $x^2\sin(x)$ to iloczyn, ale $\sin(x^2)$ to złożenie funkcji.
4. Pomijanie nawiasów, gdy jeden z czynników jest dłuższym wyrażeniem, na przykład $(x^2+1)e^x$.

Kiedy stosować regułę iloczynu

Stosuj regułę iloczynu, gdy funkcja jest zapisana jako iloczyn jednego różniczkowalnego czynnika i drugiego różniczkowalnego czynnika, a oba zależą od $x$. Typowe przypadki to:

1. Wielomian razy funkcja trygonometryczna, na przykład $x^3\cos(x)$
2. Wielomian razy funkcja wykładnicza, na przykład $x e^x$
3. Iloczyn z logarytmem, na przykład $x\ln(x)$
4. Iloczyn, w którym jeden z czynników wymaga też użycia reguły łańcuchowej, na przykład $x\sin(x^2)$

Jeśli jeden z czynników jest stały, reguła sprowadza się do reguły mnożenia przez stałą.

Szybka kontrola po obliczeniu pochodnej

Przed uproszczeniem wynik uzyskany z reguły iloczynu zwykle ma postać sumy dwóch składników. Jeśli od razu widzisz tylko jeden składnik, sprawdź, czy nie pominąłeś części pochodnej.

Spróbuj samodzielnie

Oblicz pochodną funkcji $y = x^3 e^x$ i sprawdź, czy twój wynik ma dwa składniki. Następnie porównaj z podobnym przykładem: dla $y = e^{x^3}$ zauważ, że struktura się zmieniła, więc lepszym narzędziem będzie tam reguła łańcuchowa.