求导法则——规则与例题

求导就是求一个函数的导数。导数告诉你函数在某一点变化得有多快，因此在微积分中，它常用于研究切线斜率和变化率问题。

想要最快选对法则，先看表达式的结构。它是像 $x^5$ 这样的幂，像 $x^3 + 2x$ 这样的和，像 $x^2 e^x$ 这样的乘积，还是像 $(3x+1)^4$ 这样一个函数套在另一个函数里面？使用哪条求导法则，取决于这个结构。

应该使用哪条求导法则？

先看表达式最外层的形式。

• 如果表达式是 $x$ 的单个幂，使用幂函数求导法则。
• 如果各项之间是加法或减法，逐项求导。
• 如果两个会变化的表达式相乘，使用乘积法则。
• 如果一个会变化的表达式除以另一个，使用商法则。
• 如果一个函数嵌套在另一个函数里面，使用链式法则。

很多题目会同时用到不止一条法则。这种情况下，先选与最外层结构对应的法则。

常见求导法则

常数法则

如果 $c$ 是常数，那么：

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

一个固定的数不会随着 $x$ 的变化而变化。

幂函数求导法则

如果 $n$ 是实数，那么：

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

例：$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$。

常数倍法则

如果 $c$ 是常数，且 $f$ 可导，那么：

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

常数保留在前面。

和差法则

如果 $f$ 和 $g$ 都可导，那么：

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

分别对每一项求导，再保留原来的加号或减号。

乘积法则

如果 $f$ 和 $g$ 都可导，那么：

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

当两个因子都依赖于 $x$ 时，使用这条法则。

商法则

如果 $f$ 和 $g$ 都可导，且 $g(x) \ne 0$，那么：

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

条件 $g(x) \ne 0$ 很重要，因为除以零是没有定义的。

链式法则

如果 $y = f(g(x))$，并且两个函数在需要的地方都可导，那么：

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

当一个函数嵌套在另一个函数里面时，使用这条法则。

为什么结构在求导中很重要

求导法则本质上是针对常见表达式结构的快捷方法。如果表达式很简单，通常一条法则就够了。如果它由多个部分组成，就需要组合使用不同法则。

这也是为什么很多学生在真正开始求导之前就已经出错。最关键的能力首先不是代数运算，而是在计算之前先识别最外层结构。

求导例题：乘积法则与链式法则一起使用

求下列函数的导数：

$$y = x^2(3x+1)^4$$

最外层结构是乘积，所以先用乘积法则。设：

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

则：

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

先对第一个因子求导：

$$f'(x) = 2x$$

现在对 $g(x) = (3x+1)^4$ 求导。这里需要用链式法则，因为内部表达式是 $3x+1$，而不只是 $x$：

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

把两部分代入：

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

这已经是正确的导数了。如果你想写成因式分解的形式：

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

关键步骤不在于因式分解，而在于看出整个表达式是一个乘积，同时其中一个因子还需要使用链式法则。

求导中的常见错误

1. 当函数实际上是乘积或商时，却对整个表达式直接使用幂函数求导法则。
2. 在链式法则中忘记乘上内部函数的导数。对于 $(3x+1)^4$，完整导数是 $4(3x+1)^3 \cdot 3$。
3. 把乘积的导数误写成两个导数的乘积。一般来说，$[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$。
4. 忽略条件。商法则要求分母不为零。

求导法则在什么时候使用

只要一个量相对于另一个量发生变化，就会用到求导法则。在微积分中，它们用于求切线斜率、最优化以及曲线描绘。

在物理中，导数描述速度、加速度等量。在经济学或工程学中，当你需要边际变化或变化率时，也会用到导数。

试试一道类似的求导题

对 $y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ 求导，并判断第一步应该使用哪条法则。如果你的答案少了乘积法则中的两项，或者漏掉了 $(2x - 5)^2$ 的内部导数，请在化简之前先回头检查最外层结构。