链式法则

链式法则是用于“函数套函数”情形的求导法则。如果一个量依赖于某个中间步骤，而这个中间步骤又依赖于 $x$，那么总变化率就来自这两个变化率的乘积。

链式法则说明了什么

如果 $y = f(g(x))$，且 $g$ 在 $x$ 处可导，同时 $f$ 在 $g(x)$ 处可导，那么：

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

用通俗的话说：先对外层函数求导，内层表达式保持不变，然后再乘以内层表达式的导数。

直观理解

复合函数的变化分成两层。首先，$x$ 的一个微小变化会引起内层表达式 $g(x)$ 的变化；接着，$g(x)$ 的变化又会引起外层值 $f(g(x))$ 的变化。

链式法则把这两层联系起来。它说明，总体变化率等于外层变化率乘以内层变化率。

例题演示

求下式的导数：

$$y = (3x^2 + 1)^5$$

这里的内层函数是：

$$u = 3x^2 + 1$$

外层函数是：

$$y = u^5$$

先对外层函数求导：

$$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

再对内层函数求导：

$$\frac{du}{dx} = 6x$$

将它们相乘：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 6x$$

代回 $u = 3x^2 + 1$：

$$\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 + 1)^4$$

最后那个因子 $6x$，正是人们最容易漏掉的部分。

常见错误

1. 对外层函数求导后就过早停止。对于 $(3x^2 + 1)^5$，$5(3x^2 + 1)^4$ 并不是完整导数。
2. 误判外层函数。在 $\sin(x^2)$ 中，外层函数是 $\sin(\cdot)$，而不是平方。
3. 在没有复合结构时误用链式法则。对于 $x^3 + 1$，你不需要额外再乘一个内层导数。

什么时候会用到它

只要函数是嵌套的，就会用到链式法则。常见例子包括：

1. 表达式的幂，例如 $(x^2 + 4x - 1)^7$
2. 表达式作为自变量的三角函数，例如 $\sin(5x)$ 或 $\cos(x^3)$
3. 指数函数和对数函数，例如 $e^{x^2}$ 或 $\ln(1 + x^4)$
4. 隐函数求导，其中往往会同时出现多个链式法则步骤

一个快速检查方法

对复合函数求导后，问自己一个问题：答案里是否出现了内层表达式的导数？

如果没有，那么链式法则这一步很可能还没有做完整。

自己试一试

取 $y = (2x - 3)^4$，在求导前先把内层函数写出来并命名。如果你的最终答案里没有出现 $2x - 3$ 的导数，那就重做最后一步，看看它是在哪里消失的。