Aturan Perkalian

Aturan perkalian memberi tahu cara menurunkan dua ekspresi yang dikalikan. Jika $f$ dan $g$ keduanya dapat diturunkan di $x$, maka

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Ini adalah aturan turunan untuk hasil kali seperti $x^2\sin(x)$ dan $x e^x$. Turunkan faktor pertama sekali, lalu faktor kedua sekali, kemudian jumlahkan hasilnya.

Rumus aturan perkalian

Mulai dengan

$$y = f(x)g(x)$$

Jika kedua fungsi dapat diturunkan, maka

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Dengan kata lain: turunkan yang pertama dan pertahankan yang kedua, lalu pertahankan yang pertama dan turunkan yang kedua. Aturan ini bergantung pada kedua faktor yang berubah terhadap $x$.

Mengapa aturan perkalian memiliki dua suku

Ketika dua besaran yang berubah dikalikan, hasil kalinya bisa berubah dengan dua cara. Faktor pertama bisa berubah sementara faktor kedua tetap untuk saat itu, atau faktor kedua bisa berubah sementara faktor pertama tetap.

Itulah sebabnya turunan memiliki dua suku, bukan satu.

Contoh dikerjakan: $x^2\sin(x)$

Cari turunan dari

$$y = x^2 \sin(x)$$

Ini adalah hasil kali dari dua fungsi:

$$f(x) = x^2 \quad \text{dan} \quad g(x) = \sin(x)$$

Turunkan masing-masing faktor:

$$f'(x) = 2x \quad \text{dan} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Terapkan aturan perkalian:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Jadi

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Jawaban salah yang umum adalah $2x\cos(x)$. Itu berasal dari menurunkan kedua faktor lalu mengalikan hasilnya, yang bukan aturan perkalian.

Kesalahan umum pada aturan perkalian

1. Menulis $f'(x)g'(x)$. Secara umum, itu bukan turunan dari $f(x)g(x)$.
2. Lupa satu suku dan hanya menulis $f'(x)g(x)$ atau hanya $f(x)g'(x)$.
3. Mencampuradukkan aturan perkalian dengan aturan rantai. $x^2\sin(x)$ adalah hasil kali, tetapi $\sin(x^2)$ adalah komposisi.
4. Menghilangkan tanda kurung saat salah satu faktor adalah ekspresi yang lebih panjang, seperti $(x^2+1)e^x$.

Kapan menggunakan aturan perkalian

Gunakan aturan perkalian ketika suatu fungsi ditulis sebagai satu faktor yang dapat diturunkan dikali faktor lain yang juga dapat diturunkan, dan keduanya bergantung pada $x$. Kasus yang umum meliputi:

1. Polinom dikali fungsi trigonometri, seperti $x^3\cos(x)$
2. Polinom dikali eksponensial, seperti $x e^x$
3. Hasil kali logaritmik, seperti $x\ln(x)$
4. Hasil kali ketika salah satu faktor juga memerlukan aturan rantai, seperti $x\sin(x^2)$

Jika salah satu faktor adalah konstanta, aturan ini menyederhana menjadi aturan kelipatan konstanta.

Pemeriksaan cepat setelah menurunkan

Sebelum penyederhanaan, jawaban aturan perkalian biasanya memiliki dua suku yang dijumlahkan. Jika Anda langsung hanya melihat satu suku, periksa apakah ada bagian turunan yang terlewat.

Coba versi Anda sendiri

Turunkan $y = x^3 e^x$ dan periksa apakah hasil Anda memiliki dua suku. Lalu coba perbandingan yang mirip: untuk $y = e^{x^3}$, perhatikan bahwa strukturnya berubah, sehingga aturan rantai adalah alat yang lebih tepat di sana.