Κανόνας γινομένου

Ο κανόνας γινομένου σου δείχνει πώς να παραγώγισεις δύο παραστάσεις που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους. Αν οι $f$ και $g$ είναι και οι δύο παραγωγίσιμες στο $x$, τότε

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$

Αυτός είναι ο κανόνας παραγώγισης για γινόμενα όπως $x^2\sin(x)$ και $x e^x$. Παραγώγισε τον πρώτο παράγοντα μία φορά, μετά τον δεύτερο παράγοντα μία φορά, και πρόσθεσε τα αποτελέσματα.

Τύπος του κανόνα γινομένου

Ξεκίνα με

$$y = f(x)g(x)$$

Αν και οι δύο συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες, τότε

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Με λόγια: παραγώγισε την πρώτη και κράτησε τη δεύτερη, έπειτα κράτησε την πρώτη και παραγώγισε τη δεύτερη. Ο κανόνας βασίζεται στο ότι και οι δύο παράγοντες μεταβάλλονται με το $x$.

Γιατί ο κανόνας γινομένου έχει δύο όρους

Όταν πολλαπλασιάζονται δύο μεταβαλλόμενα μεγέθη, το γινόμενο μπορεί να αλλάξει με δύο τρόπους. Ο πρώτος παράγοντας μπορεί να αλλάζει ενώ ο δεύτερος μένει σταθερός εκείνη τη στιγμή, ή ο δεύτερος παράγοντας μπορεί να αλλάζει ενώ ο πρώτος μένει σταθερός.

Γι’ αυτό η παράγωγος έχει δύο όρους αντί για έναν.

Λυμένο παράδειγμα: $x^2\sin(x)$

Βρες την παράγωγο της

$$y = x^2 \sin(x)$$

Αυτό είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων:

$$f(x) = x^2 \quad \text{και} \quad g(x) = \sin(x)$$

Παραγώγισε κάθε παράγοντα:

$$f'(x) = 2x \quad \text{και} \quad g'(x) = \cos(x)$$

Εφάρμοσε τον κανόνα γινομένου:

$$\frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$$

Άρα

$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin(x)\right) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x).$$

Μια συνηθισμένη λανθασμένη απάντηση είναι το $2x\cos(x)$. Αυτό προκύπτει όταν παραγώγιζεις και τους δύο παράγοντες και πολλαπλασιάζεις τα αποτελέσματα, κάτι που δεν είναι ο κανόνας γινομένου.

Συνηθισμένα λάθη στον κανόνα γινομένου

1. Να γράφεις $f'(x)g'(x)$. Γενικά, αυτό δεν είναι η παράγωγος του $f(x)g(x)$.
2. Να ξεχνάς έναν όρο και να γράφεις μόνο $f'(x)g(x)$ ή μόνο $f(x)g'(x)$.
3. Να μπερδεύεις τον κανόνα γινομένου με τον κανόνα αλυσίδας. Το $x^2\sin(x)$ είναι γινόμενο, αλλά το $\sin(x^2)$ είναι σύνθεση.
4. Να παραλείπεις παρενθέσεις όταν ένας παράγοντας είναι μεγαλύτερη παράσταση, όπως $(x^2+1)e^x$.

Πότε να χρησιμοποιείς τον κανόνα γινομένου

Χρησιμοποίησε τον κανόνα γινομένου όταν μια συνάρτηση γράφεται ως ένας παραγωγίσιμος παράγοντας επί έναν άλλο παραγωγίσιμο παράγοντα, και οι δύο εξαρτώνται από το $x$. Συνηθισμένες περιπτώσεις είναι:

1. Ένα πολυώνυμο επί μια τριγωνομετρική συνάρτηση, όπως $x^3\cos(x)$
2. Ένα πολυώνυμο επί μια εκθετική συνάρτηση, όπως $x e^x$
3. Ένα λογαριθμικό γινόμενο, όπως $x\ln(x)$
4. Ένα γινόμενο όπου ο ένας παράγοντας χρειάζεται επίσης τον κανόνα αλυσίδας, όπως $x\sin(x^2)$

Αν ο ένας παράγοντας είναι σταθερά, ο κανόνας ανάγεται στον κανόνα σταθερού πολλαπλασιαστή.

Ένας γρήγορος έλεγχος μετά την παραγώγιση

Πριν από την απλοποίηση, μια απάντηση από τον κανόνα γινομένου συνήθως έχει δύο όρους που προστίθενται. Αν δεις αμέσως μόνο έναν όρο, έλεγξε μήπως παρέλειψες μέρος της παραγώγου.

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή

Παραγώγισε το $y = x^3 e^x$ και έλεγξε αν το αποτέλεσμά σου έχει δύο όρους. Έπειτα δοκίμασε μια κοντινή σύγκριση: για $y = e^{x^3}$, πρόσεξε ότι η δομή άλλαξε, οπότε εκεί ο κανόνας αλυσίδας είναι το καταλληλότερο εργαλείο.